Случайные величины (стр. 12 из 13)

Основные свойства характеристической функции

Рассмотрим свойства функции

для непрерывной случайной величины. Для дискретной величины эти свойства доказываются аналогично.

1). В общем случае характеристическая функция (46.2) является комплексной. Ее вещественная часть

(47.1)

- является

- преобразованием от плотности вероятности, и мнимая часть

(47.2)

- является

- преобразованием от

. Если

- четная функция, то

, тогда характеристическая функция

и является вещественной и четной функцией.

2).

. Это свойство следует из (46.2) и условия нормировки для плотности:

. (47.3)

3).

- функция

имеет глобальный максимум в точке

. Доказательство следует из (46.2):

.

4).

5). Характеристическая функция непрерывна. Для доказательства рассмотрим приращение

аргумента функции

, такое, что

, где

- положительное число. Тогда имеет место следующая цепочка преобразований:

. (47.4)

Пусть

и число

, (47.5)

тогда из (47.4) следует

. (47.6)

Таким образом, выполняется определение непрерывности функции

: для любого

можно выбрать положительное

, что из условия

следует

.

Примеры вычисления характеристической функции

48.1. Пусть

- случайная величина с характеристической функцией

. Найти характеристическую функцию

случайной величины

, (48.1)

где

- числа. По определению

. (48.2)

48.2. Найти характеристическую функцию

гауссовой случайной величины

. По формуле (46.2)

. (48.3)

Выполним замену переменной интегрирования

на переменную

, тогда

и

. (48.4)

Показатель в подынтегральном выражении преобразуем следующим образом:

.

Подстановка этого результата в (48.4) приводит к выражению

. (48.5)

Отсюда следует, что характеристическая функция гауссовой случайной величины

при

является вещественной и четной функцией.

Моменты, кумулянты и характеристическая функция

49.1. Вычислим производную порядка

характеристической функции (46.1) при

:

, (49.1)

где

- начальный момент

порядка случайной величины

. Пусть существуют все моменты

,

, тогда существуют производные (49.1) характеристической функции при

. Поэтому функцию

можно разложить в ряд Тейлора около точки

:

. (49.2)

Отметим, что здесь первое слагаемое

. Выражение (49.2) называют иногда разложением характеристической функции по моментам, имея ввиду тот факт, что коэффициенты при

определяются начальными моментами

.

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности

соотношение (49.1) можно представить в виде:

. (49.3)

Таким образом, существование производной порядка

характеристической функции при

(или начального момента

) определяется поведением плотности вероятности

при

, от которого зависит существование интеграла (49.3).

49.2. Функция

(49.4)

называется кумулянтной функцией случайной величины

. Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и

. Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик, т.е. среди

. Например, для гауссовой случайной величины из (48.5) следует