Рассмотрим свойства функции для непрерывной случайной величины. Для дискретной величины эти свойства доказываются аналогично.
1). В общем случае характеристическая функция (46.2) является комплексной. Ее вещественная часть
(47.1)
- является - преобразованием от плотности вероятности, и мнимая часть
(47.2)
- является - преобразованием от . Если - четная функция, то , тогда характеристическая функция и является вещественной и четной функцией.
2). . Это свойство следует из (46.2) и условия нормировки для плотности:
. (47.3)
3). - функция имеет глобальный максимум в точке . Доказательство следует из (46.2):
.
4).
5). Характеристическая функция непрерывна. Для доказательства рассмотрим приращение аргумента функции , такое, что , где - положительное число. Тогда имеет место следующая цепочка преобразований:
. (47.4)
Пусть и число
, (47.5)
тогда из (47.4) следует
. (47.6)
Таким образом, выполняется определение непрерывности функции : для любого можно выбрать положительное , что из условия следует .
48.1. Пусть - случайная величина с характеристической функцией . Найти характеристическую функцию случайной величины
, (48.1)
где - числа. По определению
. (48.2)
48.2. Найти характеристическую функцию гауссовой случайной величины . По формуле (46.2)
. (48.3)
Выполним замену переменной интегрирования на переменную , тогда и
. (48.4)
Показатель в подынтегральном выражении преобразуем следующим образом:
.
Подстановка этого результата в (48.4) приводит к выражению
. (48.5)
Отсюда следует, что характеристическая функция гауссовой случайной величины при является вещественной и четной функцией.
49.1. Вычислим производную порядка характеристической функции (46.1) при :
, (49.1)
где - начальный момент порядка случайной величины . Пусть существуют все моменты , , тогда существуют производные (49.1) характеристической функции при . Поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора около точки :
. (49.2)
Отметим, что здесь первое слагаемое . Выражение (49.2) называют иногда разложением характеристической функции по моментам, имея ввиду тот факт, что коэффициенты при определяются начальными моментами .
Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности соотношение (49.1) можно представить в виде:
. (49.3)
Таким образом, существование производной порядка характеристической функции при (или начального момента ) определяется поведением плотности вероятности при , от которого зависит существование интеграла (49.3).
49.2. Функция
(49.4)
называется кумулянтной функцией случайной величины . Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и . Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик, т.е. среди . Например, для гауссовой случайной величины из (48.5) следует