Случайные величины (стр. 3 из 13)
Рис. 30.1. График функции распределения вероятностей.
Основные свойства функции распределения вероятностей
Рассмотрим основные свойства функции распределения, следующие непосредственно из определения:
. (31.1)
1. Введем обозначение: 
. Тогда из определения следует 
. Здесь выражение 
рассматривается как невозможное событие с нулевой вероятностью.
2. Пусть 
. Тогда из определения функции 
следует 
. Случайное событие 
является достоверным и его вероятность равна единице.
3. Вероятность 
случайного события 
, состоящего в том, что случайная величина 
принимает значение из интервала 
при 
определяется через функцию следующим равенством
. (31.2)
Для доказательства этого равенства рассмотрим соотношение
. (31.3)
События 
и 
несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей из (31.3) следует
, (31.4)
что и совпадает с формулой (31.2), поскольку 
и 
.
4. Функция является неубывающей. Для доказательства рассмотрим . При этом справедливо равенство (31.2). Его левая часть 
, поскольку вероятность принимает значения из интервала 
. Поэтому и правая часть равенства (31.2) неотрицательна: 
, или 
. Это равенство получено при условии , поэтому - неубывающая функция.
5. Функция непрерывна справа в каждой точке 
, т.е.
, (31.5)
где 
- любая последовательность, стремящаяся к справа, т.е. 
и 
.
Для доказательства представим функцию 
в виде: 
. (31.5)
Отсюда
. (31.6)
Теперь на основании аксиомы счетной аддитивности вероятности выражение в фигурных скобках равно 
, таким образом 
, что и доказывает непрерывность справа функции .
Таким образом, каждая функция распределения вероятностей обладает свойствами 1-5. Верно и обратное утверждение: если , 
, удовлетворяет условиям 1-5 ,то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.
Для полного вероятностного описания дискретной случайной величины , принимающей значения , достаточно задать вероятности
, 
(32.1)
того, что случайная величина принимает значение 
. Если заданы и 
, , тогда функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде: