Случайные величины (стр. 4 из 13)
. (32.2)
Здесь суммирование ведется по всем индексам 
, удовлетворяющим условию: 
.
Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка
(32.3)
При этом 
принимает вид
, (32.4)
если случайная величина 
принимает конечное множество значений 
, и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным 
, если случайная величина принимает счетное множество значений.
Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30.
Плотность распределения вероятностей
Пусть случайная величина имеет дифференцируемую функцию распределению вероятностей , тогда функция
(33.1)
называется плотностью распределения вероятностей ( или плотностью вероятности) случайной величины , а случайная величина - непрерывной случайной величиной.
Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.
Из определения производной следует равенство:
. (33.2)
Согласно свойствам функции имеет место равенство 
. Поэтому (33.2) принимает вид:
. (33.3)
Это соотношение объясняет название функции 
. Действительно, согласно (33.3) функция - это вероятность 
, приходящаяся на единицу интервала 
, в точке 
, поскольку 
. Таким образом, плотность вероятности, определяемая соотношением (33.3), аналогична определениям плотностей других величин, известных в физике, таких как плотность тока, плотность вещества, плотность заряда и т.д.
2. Поскольку 
- неубывающая функция, то ее производная 
- функция неотрицательная:
. (33.4)
3. Из (33.1) следует
,
поскольку 
. Таким образом, справедливо равенство
. (33.5)
4. Поскольку 
, то из соотношения (33.5) следует
(33.6)
- равенство, которое называется условием нормировки. Его левая часть 
- это вероятность достоверного события.
5. Пусть 
, тогда из (33.1) следует
. (33.7)
Это соотношение имеет важное значение для приложений, поскольку позволяет вычислить вероятность 
через плотность вероятности 
или через функцию распределения вероятностей . Если положить 
, то из (33.7) следует соотношение (33.6).
На рис. 33.1 представлены примеры графиков функции распределения и плотности вероятностей.
Рис. 33.1. Примеры функции распределения вероятностей и плотности вероятности.
Отметим, что плотность распределения вероятности может иметь несколько максимумов. Значение 
аргумента 
, при котором плотность имеет максимум называется модой распределения случайной величины . Если плотность имеет более одной моды, то называется многомодальной.
Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины
Пусть случайная величина принимает значения 
с вероятностями 
, 
. Тогда ее функция распределения вероятностей
, (34.1)
где 
- функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства 
. Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка , входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при 
. Поэтому в точке не существует производная 
функции .
Для преодоления этой сложности вводится 
-функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:
. (34.2)
Тогда формально производная
(34.3)
и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции :
. (34.4)
Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения 
с вероятностями 
, и пусть 
, 
. Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка 
может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле: