Случайные величины (стр. 4 из 13)

. (32.2)

Здесь суммирование ведется по всем индексам

, удовлетворяющим условию:

.

Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка

(32.3)

При этом

принимает вид

, (32.4)

если случайная величина

принимает конечное множество значений

, и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным

, если случайная величина принимает счетное множество значений.

Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30.

Плотность распределения вероятностей

Пусть случайная величина

имеет дифференцируемую функцию распределению вероятностей

, тогда функция

(33.1)

называется плотностью распределения вероятностей ( или плотностью вероятности) случайной величины

, а случайная величина

- непрерывной случайной величиной.

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.

Из определения производной следует равенство:

. (33.2)

Согласно свойствам функции

имеет место равенство

. Поэтому (33.2) принимает вид:

. (33.3)

Это соотношение объясняет название функции

. Действительно, согласно (33.3) функция

- это вероятность

, приходящаяся на единицу интервала

, в точке

, поскольку

. Таким образом, плотность вероятности, определяемая соотношением (33.3), аналогична определениям плотностей других величин, известных в физике, таких как плотность тока, плотность вещества, плотность заряда и т.д.

2. Поскольку

- неубывающая функция, то ее производная

- функция неотрицательная:

. (33.4)

3. Из (33.1) следует

,

поскольку

. Таким образом, справедливо равенство

. (33.5)

4. Поскольку

, то из соотношения (33.5) следует

(33.6)

- равенство, которое называется условием нормировки. Его левая часть

- это вероятность достоверного события.

5. Пусть

, тогда из (33.1) следует

. (33.7)

Это соотношение имеет важное значение для приложений, поскольку позволяет вычислить вероятность

через плотность вероятности

или через функцию распределения вероятностей

. Если положить

, то из (33.7) следует соотношение (33.6).

На рис. 33.1 представлены примеры графиков функции распределения и плотности вероятностей.

Рис. 33.1. Примеры функции распределения вероятностей и плотности вероятности.

Отметим, что плотность распределения вероятности может иметь несколько максимумов. Значение

аргумента

, при котором плотность

имеет максимум называется модой распределения случайной величины

. Если плотность

имеет более одной моды, то

называется многомодальной.

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

Пусть случайная величина

принимает значения

с вероятностями

,

. Тогда ее функция распределения вероятностей

, (34.1)

где

- функция единичного скачка. Определить плотность вероятности

случайной величины

по ее функции распределения

можно с учетом равенства

. Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка

, входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при

. Поэтому в точке

не существует производная

функции

.

Для преодоления этой сложности вводится

-функция. Функцию единичного скачка можно представить через

-функцию следующим равенством:

. (34.2)

Тогда формально производная

(34.3)

и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции

:

. (34.4)

Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина

принимает значения

с вероятностями

, и пусть

,

. Тогда вероятность

- того, что случайная величина

примет значение из отрезка

может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле: