Случайные величины (стр. 5 из 13)
. Здесь
, поскольку особая точка
- функции, определяемая условием 
, находится внутри области интегрирования при 
, а при 
особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом,
. Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:
. Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что
-функция при нулевом аргументе 
, и говорят, что 
не существует. С другой стороны, в (34.2) -функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого 
, т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию. Примеры плотностей и функций распределения вероятностей
35.1. Случайная величина
называется равномерно распределенной на отрезке 
, если ее плотность распределения вероятностей
(35.1) где
- число, определяемое из условия нормировки:
. (35.2) Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно
имеет вид: 
. Функция распределения вероятностей
равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:
(35.3) На рис. 35.1 представлены графики функций
и равномерно распределенной случайной величины. 
Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения
равномерно распределенной случайной величины.
35.2. Случайная величина
называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:
, (35.4) где
, 
- числа, называемые параметрами функции . При 
функция принимает свое максимальное значение: 
. Параметр имеет смысл эффективной ширины . Кроме этой геометрической интерпретации параметры , имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем. Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей
, (35.5) где
- функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и 
часто используется запись 
. 
Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения
нормальной случайной величины.
35.3. Случайная величина
имеет плотность распределения вероятностей Коши, если
. (35.6) Этой плотности соответствует функция распределения
. (35.7)
35.4. Случайная величина
называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
(35.8) Определим ее функцию распределения вероятностей. При
из (35.8) следует 
. Если 
, то
. (35.9) 35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида
(35.10) Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей
при и равная
(35.11) при
. 35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина
- это число успехов в последовательности из 
независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения 
, 
с вероятностью 
, которая определяется формулой Бернулли: