Случайные величины (стр. 7 из 13)

Математическим ожиданием (средним, статистическим средним) дискретной случайной величины

, принимающей значения с вероятностями , называется число

. (37.2)

Если множество значений дискретной случайной величины счетно:

, то в (37.2) полагается .

Пусть

- однозначная функция одной переменной, - дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями . Тогда - дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями . Поэтому из определения (37.2) математического ожидания следует

(37.3)

- выражение, определяющее математическое ожидание функции

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины

с плотностью распределения вероятностей называется число

. (37.4)

Аналогично определяется математическое ожидание случайной величины

- как число

, (37.5)

где

- однозначная функция одной переменной, - плотность распределения вероятностей случайной величины .

37.2. Определения (37.2) и (37.4) согласуются друг с другом. Соотношение (37.4) можно представить приближенно в виде интегральной суммы:

, (37.6)

где

- малая величина. Тогда , и следовательно, (37.4) формально представимо суммой (37.2).

Если

- дискретная величина, принимающая значения с вероятностями , то ее плотность вероятности можно представить через - функцию:

. (37.7)

Подставим (37.7) в (37.4), тогда

, (37.8)

что совпадает с (37.2). Таким образом, определение (37.4) математического ожидания можно использовать как универсальное определение как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Однако вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, конечно, удобнее по формуле (37.2).

Выражение (37.4) можно представить через функцию распределения

случайной величины . Для этого выполним следующие преобразования: . Далее используем для вычисления интеграла способ «по частям»:

Пусть функция

удовлетворяет условиям: , , тогда

. (37.9)

Это выражение позволяет вычислять математическое ожидание

через функцию распределения.

Примеры вычисления математического ожидания случайной величины

38.1. Пусть гауссова случайная величина

имеет плотность распределения вероятностей (35.4). Вычислим ее математическое ожидание. Для этого подставим выражение (35.4) в формулу (37.4), тогда

. (38.1)

Вместо переменной интегрирования

введем новую переменную , , тогда

. (38.2)

Функция

является нечетной, поэтому интеграл в первом слагаемом (38.2) равен нулю. Во втором слагаемом

. (38.3)

Это равенство представляет собой условие нормировки для гауссовой плотности распределения вероятностей (35.4) с параметрами:

и . Таким образом, из (38.2) следует - среднее гауссовой случайной величины является параметром плотности распределения вероятностей (35.4). В данном случае имеет геометрическую интерпретацию (рис. 35.2) как значение аргумента , при котором плотность (35.4) принимает максимальное значение. В дальнейшем символ используется также и для обозначения среднего любой случайной величины .

38.2. Вычислим среднее случайной величины

, распределенной по экспоненциальному закону (35.8):

. (38.4)

Далее используем способ интегрирования «по частям»:

. (38.5)

38.3. Пусть

- число успехов в серии из независимых опытов. Тогда вероятности , определяются формулой Бернули. Поэтому