Случайные величины (стр. 8 из 13)

. (38.6)

Последнее равенство справедливо, поскольку

. Подставим в (38.6) формулу Бернули, тогда:

. (38.7)

Введем новый индекс суммирования

, тогда

. (38.8)

Поскольку

- вероятность

успехов в серии из

опытов, то

- как вероятность достоверного события, состоящего в появлении любого числа успехов в интервале

. Поэтому из (38.8) следует

. (38.9)

38.4. Однако не у всякой случайной величины существует ее математическое ожидание. Причиной этого является расходимость интеграла (37.4), что в свою очередь, обусловлено малой скоростью сходимости к нулю плотности

при

, так что для функции

не существует интеграл вида (37.4). Для примера рассмотрим вычисление математического ожидания случайной величины

, распределенной по закону Коши:

.

(38.10)

Здесь несобственный интеграл расходится, так как

.

Следовательно, случайная величина

не имеет математического ожидания. Однако, если интеграл в (38.10) понимать в смысле главного значения Коши, то

,

поскольку функция

является нечетной. Следовательно, при этом

. (38.11)

Свойства математического ожидания

Основные свойства математического ожидания следуют непосредственно из свойств интеграла в определении (37.5):

. (39.1)

1. Пусть

представляет собой постоянную

, тогда из (39.1) следует

, (39.2)

поскольку для плотности

выполняется условие нормировки (33.6). Таким образом, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной.

2. Пусть

, где

- число и

- однозначная функция одной переменной, тогда из (39.1) следует

. (39.3)

Таким образом, постоянный множитель

можно вынести за знак математического ожидания.

3. Пусть

, где

- числа,

- однозначные функции одной переменной, тогда из (39.1) следует

. (39.4)

Из этого равенства при

следует свойство 2, а при

и

- свойство 1.

Математическое ожидание

- это число, которое ставится в соответствие случайной величине

. Поэтому

можно рассматривать как операцию (оператор, функцию) над случайной величиной

. В соответствии со свойствами 1-3 оператор математического ожидания является линейным оператором.

Дисперсия случайной величины

40.1. Дисперсией случайной величины

называется число

. (40.1)

Дисперсия является удобной характеристикой разброса значений

около ее среднего значения

. Часто используется для обозначения дисперсии символ

. Тогда

называется среднеквадратическим уклонением случайной величины

. Если дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то размерность

совпадает с размерностью случайной величины. Из (40.1) в соответствии со свойствами математического ожидания следует

. (40.2)

Таким образом,

. (40.3)

Если

дискретная случайная величина со значениями

и соответствующими вероятностями

, то ее дисперсия

(40.4)

Если

- непрерывная случайная величина и

- ее плотность вероятности, то

. (40.5)

40.2. Рассмотрим примеры. Вычислим дисперсию нормальной случайной величины. Ее плотность

определяется формулой (35.4). Подставим

в (40.5), тогда

. (40.6)

Пусть

, тогда

,

. (40.7)

Подстановка пределов в (40.7) дает нулевые результаты, а интеграл равен

. Поэтому

. (40.8)

Таким образом, параметр

в плотности нормальной случайной величины является дисперсией этой величины, а среднеквадратичное уклонение

определяет эффективную ширину плотности

: значение

в

раз меньше значения

- в точке максимума.