Случайные величины (стр. 9 из 13)

40.3. В некоторых случаях для вычисления дисперсии удобно использовать формулу (40.3). Например, для экспоненциально распределенной случайной величины

плотность имеет вид (35.8), а ее среднее

. Вычислим

. (40.9)

Интеграл в (40.9) вычисляется по частям:

.

Таким образом,

. Полученный результат подставим в формулу (40.3), тогда

. 40.10)

40.4. Вычислим дисперсию числа успехов в вероятностной схеме Бернулли, как пример вычисления дисперсии дискретной случайной величины. При этом также используем формулу (40.3), т.е. на первом шаге вычислим среднее от квадрата

, а затем используя ранее полученный результат, дисперсию по формуле (40.3). Итак, среднее от квадрата

, (40.11)

где

- распределение вероятностей Бернулли, поэтому

. (40.12)

Пусть

, тогда

и

.(40.13)

Здесь

- вероятность появления

успехов в последовательности из

опытов. Поэтому

, как вероятность достоверного события, состоящего в том, что число успехов будет любым в интервале от

до

. Первая сумма в (40.13)

как математическое ожидание числа успехов в последовательности из

опытов в соответствии с формулой (38.9). Подставим эти результаты в (40.13), тогда

. (40.14)

Теперь

. (40.15)

Моменты случайной величины

41.1. Математическое ожидание и дисперсия являются примерами моментов случайной величины, которые определяются следующим образом.

Начальным моментом порядка

непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятности

называется число

. (41.1)

Порядок момента

- это неотрицательное целое число, т.е.

.

Начальным моментом порядка

дискретной случайной величины

, принимающей значения

с вероятностями

,

, называется число

. (41.2)

Определение (41.1) можно рассматривать как универсальное определение для непрерывных и для дискретных случайных величин. В последнем случае плотность вероятности выражается через

- функцию согласно формуле (34.4). Однако на практике для вычисления момента дискретной величины удобнее использовать соотношение (41.2).

Центральным моментом порядка

случайной величины

называется число

. (41.3)

Для непрерывной случайной величины

с плотностью вероятности

центральный момент порядка

имеет вид:

. (41.4)

41.2. Из всего множества начальных и центральных моментов обычно используются моменты невысоких порядков, до

включительно, как более простые характеристики случайной величины. Применение моментов высоких порядков,

, ограничено. Во-первых, при больших

моменты могут не существовать, поскольку могут расходиться интегралы (41.1), (41.4). И во-вторых, интерпретация моментов высших порядков затруднена.

Рассмотрим начальные моменты, начиная с

. При этом из (41.1) следует

. (41.5)

Итак, начальный момент нулевого порядка

для любой случайной величины, следовательно, этот момент не отражает каких-либо свойств случайной величины, т.е. не является ее характеристикой. При

из (41.1) следует, что момент первого порядка - это математическое ожидание случайной величины. Разные случайные величины могут иметь разные математические ожидания, и поэтому число

является характеристикой случайной величины: число

указывает положение центра ее плотности вероятности.

Момент второго порядка

(41.6)

- это среднее квадрата

случайной величины, и т.д.

Рассмотрим аналогично центральные моменты (41.4). При

получаем

- одинаковый результат для любой случайной величины. Поэтому данный момент не является характеристикой случайной величины, поскольку не отражает каких-либо ее свойств. При

. Этот результат также одинаков для любой случайной величины, поэтому центральный момент первого порядка не является характеристикой случайной величины. При

из (41.4) получаем дисперсию

(41.7)

- важнейшую числовую характеристику случайной величины и т.д.

Моменты третьего и четвертого порядков будут рассмотрены в дальнейшем.

Неравенство Чебышева

42.1. Пусть случайная величина

имеет конечный момент второго порядка

, тогда