Смекни!
smekni.com

Применение теоремы о среднем для исследования функции привлечения клиентов банка (стр. 2 из 3)

В классическом математическом анализе существует формула, определяющая зависимость изменения функции (экономического показателя

) от изменения аргумента (влияющего фактора
). Эта формула широко известна как теорема о среднем Лагранжа, или формула конечных приращений.

4. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЛАГРАНЖА

Теорема о среднем дифференциального исчисления (формула конечных приращений Лагранжа). Если функция

непрерывна на отрезке
и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри
найдется точка
такая, что справедлива формула [3]

. (1)

Доказательство. Рассмотрим на отрезке

следующую вспомогательную функцию

. (1.1)

Проверим, что для функции

выполнены все условия теоремы Ролля. В самом деле,
непрерывна на отрезке
(как разность функции
и линейной функции) и во всех внутренних точках отрезка
имеет производную, равную

.

Из формулы (1.1) очевидно, что

.

Согласно теореме Ролля внутри отрезка

найдется точка
такая, что

. (1.2)

Из равенства (1.2) вытекает формула Лагранжа (1).

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 3. Заметим, что

является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки
,
кривой y = f (x), а
есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку
.

Рис. 3. Графическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f (x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB .

Доказанная формула

носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она очевидно верна и для случая
.

5. НЕКОТОРЫЕ НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА

В связи с предположением о существовании альтернативных форм изменения математической величины встает задача получения зависимостей, связывающих изменения функции и аргументов, подобно теореме Лагранжа о среднем для приращений. Получение таких зависимостей базируется на классической теореме Лагранжа.

Получим зависимость индекса функции от индекса аргумента. Пусть задана зависимость

. Тогда
. Рассмотрим логарифм индекса аргумента
. Аналогично для индекса функции

Теорема о среднем в знакомой нам всем форме имеет вид

.

А теорема Лагранжа, в которой разности заменены частными (индексами)

. Имеем
, где
- производная, выраженная через частные.

Классически производная определяется следующим образом

.

Введем замену

,
. Предположим, что переменные
и
положительны. Пусть
,
. При этом
,
,
,
,
. Операция логарифмирования переводит частные в разности:
,
.

Производная преобразованной функции имеет вид [3]

, причем
.

После возврата к исходным переменным имеем

,

тогда

.

После окончательного возврата к исходным переменным имеем

. Полученное выражение является определением производной, выраженной через частные.

Тогда теорема Лагранжа примет вид:

. (2)

Рассматривая различные формы изменения величины, указанные выше, можно получить еще семь разных зависимостей, представляющих собой формулу конечных приращений Лагранжа (подобно мультипликативной, индексной зависимости) [6]:

- зависимость индекса функции от приращения аргумента:

, (3)

- зависимость индекса функции от относительного приращения аргумента:

,(4)

- зависимость приращения функции от индекса аргумента:

, (5)

- зависимость приращения функции от относительного приращения аргумента:

, (6)

- зависимость относительного приращения функции от приращения аргумента:

, (7)

- зависимость относительного приращения функции от индекса аргумента:

, (8)

- зависимость относительного приращения функции от относительного приращения аргумента:

. (9)