[pic]
- уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (143) и (144), формулируются так:
u (x, y, 0) = ? (x, y),
u(М, t) = ? (М, t),
где ? и ? – заданные функции, М – точка границы С.
Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение
[pic]
- уравнение распространения тепла в стержне.
2?, f(x), ?, ?(x) ,[-?, ?], (?, ? +2?), ?(x), ·, ?, l, < x ?, | x |,?,
?,[a, b], ?, u (x, t), М1М2 ,? +, ?? ,?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, v, ', ?, ?, k, s, u(x, y, z, t), ??
Заключение
В этой дипломной работе приведены лишь немногие примеры того как ряды
Фурье позволяют решить важные задачи математической физики. Например, некоторыми из них являются задачи на распространения тепла в стержне или колебания струны. Приведены примеры нахождения периодических решений линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье. На небольшом количестве страниц изложен материал, содержащий основные факты теории рядов
Фурье.
Работа начинается с представления функции в виде тригонометрического ряда, который и является при подставлении в него соответствующих коэффициентов (коэффициентов Фурье) рядом Фурье. Далее рассматриваются некоторые признаки сходимости рядов Фурье, вывод коэффициентов Фурье и их оценка. Представлена комплексная форма рядов Фурье. Рассмотрены примеры применений преобразований Фурье и метода Фурье (метода разделения переменных).
Так как теория тригонометрических рядов (рядов Фурье) в настоящее время достаточно велика по своему содержанию и объему, то естественно, что здесь не мог быть исчерпан весь материал.
В заключение хотелось бы отметить, что о Фурье мы прежде всего вспоминаем как об авторе “Аналитической теории теплоты” (1822 г.). В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики, относящихся к интегрированию уравнений в частных производных при заданных граничных условиях.
Литература:
1. Н.С. Пискунов „Дифференциальное и интегральное исчисления”, Москва,
„Наука”, 1972 г.
2. И.М. Уваренков, М.З. Маллер „Курс математического анализа”, Москва,
„Просвещение”, 1976 г.
3. В.С. Шипачев „Высшая математика”, Москва, „Высшая школа”, 1990г.
4. Г.Е. Шилов „Математический анализ функции одного переменного”, Москва,
„Наука”, 1970 г.
5. Я.С. Бугров, С.М. Никольский „Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного”, Москва, „Наука”, 1989 г.
6. В.А. Подольский, А.М. Суходский „Сборник задач по математике для техников-программистов”, Москва, „Высшая школа”, 1978 г.
7. Г.М. Фихтенгольц „Курс дифференциального и интегрального исчисления”, том III, Москва, „Наука”, 1969г.
8. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов „Краткий курс высшей математики”, том2, Москва, „Высшая школа”, 1978г.