Случайные вектора (стр. 10 из 13)

, (65.1)

где

- функция, обратная функции

.

Вывод формулы (65.1) основан на соотношениях (64.4) и (64.6). Поскольку функция

- взаимно однозначная, то эта функция или монотонно возрастающая

или монотонно убывающая

. Очевидны соотношения:

, (65.2)

. (65.3)

Пусть

,

- функции распределения вероятностей случайных величин

и

. Если

, тогда используя (65.2),

. (65.4)

Продифференцируем по

равенство (65.4), тогда

. (65.5)

Аналогично при

справедливо равенство (65.3), поэтому

(65.6)

Отсюда:

. (65.7)

Теперь из соотношений (65.5) и (65.7) следует (65.1).

Существенным условием при выводе формулы (65.1) является свойство взаимной однозначности функции

. Примерами таких функций являются: 1). Линейная функция

, где

,

- числа, при этом обратная функция имеет вид

; 2). Экспонента -

, откуда обратная функция

,

, и другие. Однако условие взаимной однозначности функции

может нарушаться, например, для функции

обратная функция

,

- двузначная. При этом рассматриваются две функции

и

,

, которые называются первая и вторая ветви обратного преобразования

. Более сложный пример:

. Здесь обратная функция – многозначная.

65.2. Рассмотрим модификацию формулы (65.1) на случай многозначного обратного преобразования

. Для этого на области определения функции

выделим неперекрывающиеся интервалы

,

- целое, на которых

, тогда на интервалах вида

выполняется условие

. Функция

, для

, монотонная возрастающая, а для

- монотонная убывающая. Поэтому для каждого из указанных интервалов существует однозначная обратная функция по отношению к функции

. Пусть функция

для

имеет обратную функцию вида

,

, очевидно

- монотонная возрастающая, поскольку обратная ей

- монотонная возрастающая. Аналогично обозначим через

- функцию со значениями

, обратную к

на интервале

. Очевидно

- монотонная убывающая. Функция

называется

-я ветвь обратного преобразования функции

. Теперь по формуле сложения вероятностей для несовместных событий:

(65.8)

где суммирование ведется по всем ветвям обратного преобразования.

На рис. 65.1. представлен простой пример функции

, у которой ветви обратного преобразования:

со значениями

, и

- со значениями

. На интервале

функция

- монотонно возрастающая, а на интервале

функция

- монотонная убывающая. Равенство (65.8) в этом случае принимает вид:

.

Рис. 65.1. Пример преобразования случайной величины.

Представим вероятности в (65.8) через плотности вероятностей, тогда:

. (65.9)

Дифференцируя по

обе части (65.9), получим

(65.10)

или

, (65.11)

где суммирование по

ведется по всем ветвям обратного преобразования.

65.3. Рассмотрим примеры вычисления плотности вероятности случайной величины

по формуле (65.11). Пусть

- линейное преобразование случайной величины

. Функция

- взаимно однозначная, поэтому обратное преобразование имеет одну ветвь и сумма в (65.11) содержит одно слагаемое. Поскольку

, то (65.11) принимает вид: