Случайные вектора (стр. 11 из 13)
. (65.12)
Рассмотрим квадратичное преобразование 
. Обратное преобразование имеет две ветви 
и 
. Поэтому сумма (65.11) состоит из двух слагаемых. Вычисляя, 
для 
, получаем:
(65.13)
Пусть 
и случайная величина 
имеет равномерное распределение вероятностей на интервале 
, с плотностью 
, если 
, и 
при 
. Обратное преобразование имеет две ветви: 
, а также 
. Вычисление производных 
и подстановка в (65.11) приводит к результату:
. (65.14)
На рис. 65.2. представлен график плотности 
косинус-преобразования
равномерно распределенной случайной величины. Таким образом, исходная
Рис. 65.2. Плотность вероятности косинус-преобразования.
исходная величина и преобразованная величина 
могут иметь совершенно непохожие плотности вероятности.
Преобразование нескольких случайных величин
66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности 
преобразованной величины через плотность 
исходной случайной величины , можно обобщить на случай преобразования 
случайных величин. Пусть случайные величины 
имеют совместную плотность 
, и заданы функций 
, 
переменных 
. Необходимо найти совместную плотность вероятности 
случайных величин:
(66.1)
Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием 
- число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений 
, , относительно переменных . При этом каждое 
зависит от 
. Совокупность таких функций 
, 
, образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Пусть 
, 
, - 
- я ветвь обратного преобразования 
, тогда справедливо соотношение:
, (66.2)
где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,
(66.3)
- якобиан преобразования от случайных величин 
к случайным величинам 
.
Если из каждой совокупности 
случайных величин получается 
случайных величин 
, то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему до случайных величин, например, такими величинами 
. Если же 
, то 
случайных величин из совокупности 
функционально связаны с остальными величинами, поэтому 
- мерная плотность 
будет содержать дельта-функций.
Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности 
совокупности случайных величин , полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин 
с совместной плотностью вероятности 
. Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении 
-мерного интеграла по сложной области 
. Во втором методе основная трудность – это нахождение всех ветвей обратного преобразования.
66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин 
и 
с плотностью 
по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму: 
, а в качестве второй 
(хотя можно взять и 
). Таким образом, функциональное преобразование от 
, 
к 
, 
задается системой уравнений: