
. (65.12)
Рассмотрим квадратичное преобразование

. Обратное преобразование имеет две ветви

и

. Поэтому сумма (65.11) состоит из двух слагаемых. Вычисляя,

для

, получаем:

(65.13)
Пусть

и случайная величина

имеет равномерное распределение вероятностей на интервале

, с плотностью

, если

, и

при

. Обратное преобразование имеет две ветви:

, а также

. Вычисление производных

и подстановка в (65.11) приводит к результату:

. (65.14)
На рис. 65.2. представлен график плотности

косинус-преобразования
равномерно распределенной случайной величины. Таким образом, исходная

Рис. 65.2. Плотность вероятности косинус-преобразования.
исходная величина

и преобразованная величина

могут иметь совершенно непохожие плотности вероятности.
66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности

преобразованной величины

через плотность

исходной случайной величины

, можно обобщить на случай преобразования

случайных величин. Пусть случайные величины

имеют совместную плотность

, и заданы

функций

,

переменных

. Необходимо найти совместную плотность вероятности

случайных величин:

(66.1)
Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием

- число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений

,

, относительно переменных

. При этом каждое

зависит от

. Совокупность таких функций

,

, образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Пусть

,

, -

- я ветвь обратного преобразования

, тогда справедливо соотношение:

, (66.2)
где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,

(66.3)
- якобиан преобразования от случайных величин

к случайным величинам

.
Если из каждой совокупности

случайных величин получается

случайных величин

, то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему

до

случайных величин, например, такими величинами

. Если же

, то

случайных величин из совокупности

функционально связаны с остальными

величинами, поэтому

- мерная плотность

будет содержать

дельта-функций.
Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности

совокупности случайных величин

, полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин

с совместной плотностью вероятности

. Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении

-мерного интеграла по сложной области

. Во втором методе основная трудность – это нахождение всех ветвей обратного преобразования.
66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин

и

с плотностью

по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму:

, а в качестве второй

(хотя можно взять и

). Таким образом, функциональное преобразование от

,

к

,

задается системой уравнений: