Случайные вектора (стр. 2 из 13)
. (51.3)
Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность 
- попадания двумерного вектора 
в прямоугольник, определяемый отрезками 
и 
через плотность вероятности 
.
2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть 
, 
, 
, 
, тогда (51.2) принимает вид:
. (51.4)
Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей 
через плотность вероятности 
и является обратным по отношению к равенству (51.1).
3. Рассмотрим (51.2) при условиях: 
, 
, 
, 
, тогда из (51.2) следует равенство:
, (51.5)
поскольку 
- как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности .
4. Если - плотность вероятности вектора , и 
- плотность вероятности случайной величины 
, то
. (51.6)
Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка и плотности первого порядка 
. Если известна плотность второго порядка , то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности 
- случайной величины . Аналогично,
. (51.7)
Доказательство (51.6) получим на основе равенства
. (51.8)
Представим 
через плотность согласно (51.4), а 
через , тогда из (51.8) следует
. (51.9)
Дифференцирование (51.9) по 
приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.
5. Случайные величины и 
называются независимыми, если независимы случайные события 
и 
при любых числах 
и 
. Для независимых случайных величин и :
. (51.10)
Доказательство следует из определений функций 
и , 
. Поскольку и 
- независимые случайные величины, то события вида: 
и 
- независимые для любых и 
. Поэтому
(51.11)
- справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по 
и 
, тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:
. (51.12)
6. Пусть 
- произвольная область на плоскости 
, тогда
(51.13)
- вероятность того, что вектор 
принимает любые значения из области 
определяется интегралом по от плотности вероятности 
.
Рассмотрим пример случайного вектора с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности 
на прямоугольнике 
и 
- вне этого прямоугольника. Число 
определяется из условия нормировки:
.
Условная функция распределения вероятностей
Пусть случайные величины 
и 
имеют плотности вероятности 
и 
соответственно и совместную плотность 
. Рассмотрим равенство:
. (52.1)
Отсюда
(52.2)
Функция
(52.3)
называется условной функцией распределения вероятностей случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение 
.