Случайные вектора (стр. 2 из 13)

. (51.3)

Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность

- попадания двумерного вектора в прямоугольник, определяемый отрезками и через плотность вероятности .

2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть

, , , , тогда (51.2) принимает вид:

. (51.4)

Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей

через плотность вероятности и является обратным по отношению к равенству (51.1).

3. Рассмотрим (51.2) при условиях:

, , , , тогда из (51.2) следует равенство:

, (51.5)

поскольку

- как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности .

4. Если

- плотность вероятности вектора , и - плотность вероятности случайной величины , то

. (51.6)

Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка

и плотности первого порядка . Если известна плотность второго порядка , то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности - случайной величины . Аналогично,

. (51.7)

Доказательство (51.6) получим на основе равенства

. (51.8)

Представим

через плотность согласно (51.4), а через , тогда из (51.8) следует

. (51.9)

Дифференцирование (51.9) по

приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.

5. Случайные величины

и называются независимыми, если независимы случайные события и при любых числах и . Для независимых случайных величин и :

. (51.10)

Доказательство следует из определений функций

и , . Поскольку и - независимые случайные величины, то события вида: и - независимые для любых и . Поэтому

(51.11)

- справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по

и , тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:

. (51.12)

6. Пусть

- произвольная область на плоскости , тогда

(51.13)

- вероятность того, что вектор

принимает любые значения из области определяется интегралом по от плотности вероятности .

Рассмотрим пример случайного вектора

с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности на прямоугольнике и - вне этого прямоугольника. Числоопределяется из условия нормировки:

Условная функция распределения вероятностей

Пусть случайные величины

и имеют плотности вероятности и соответственно и совместную плотность . Рассмотрим равенство:

. (52.1)

Отсюда

(52.2)

Функция

(52.3)

называется условной функцией распределения вероятностей случайной величины

при условии, что случайная величина принимает значение .