Смекни!
smekni.com

Случайные вектора (стр. 3 из 13)

Подставим (52.2) в (52.3), тогда

. (52.4)

Представим вероятности в (52.4) через плотности вероятностей, тогда

(52.5)

Это соотношение определяет условную функцию

через плотности
и
. Отметим, что для независимых случайных величин
и
совместная плотность
. При этом, как следует из (52.5), условная функция
- не зависит от аргумента
(т.е. не зависит от событий вида
.

Аналогично (52.3) можно определить функцию

случайной величины
при условии, что
, и затем получить выражение аналогичное (52.5)

. (52.6)

Условная плотность вероятности

Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины

при условии
называется функция:

. (53.1)

Соотношение (52.5) подставим в (53.1), тогда

. (53.2)

Отсюда следует

. (53.3)

- формула умножения для плотностей. Эта формула аналогична формуле умножения вероятностей. Очевидно,

. (53.4)

Данное равенство является аналогом формулы полной вероятности.

Аналогично (53.1) вводится условная плотность распределения вероятности случайной величины

при условии
как функция вида:

. (53.5)

Отсюда и из (52.6) следуют соотношения:

, (53.6)

. (53.7)

В (53.6) подставим (53.3) и (53.4), тогда:

. (53.8)

Это соотношение аналогично формуле Байеса. Здесь случайные величины

и
можно поменять местами, тогда получим также верное соотношение для условной плотности
, которая определяется через функции
и
.

Числовые характеристики двумерного случайного вектора

54.1. Пусть случайные величины

и
имеют совместную плотность вероятности
и
- функция двух переменных. Тогда
- случайная величина, полученная подстановкой случайных величин
и
вместо аргументов
и
.

Математическим ожиданием случайной величины

называется число

. (54.1)

Если

,
, тогда из (54.1) следует

,
,
. (54.2)

Числа

называются начальными смешанными моментами порядка
случайных величин
и
. Эти числа применяются в качестве статистических характеристик двумерного случайного вектора. Рассмотрим частные случаи (54.2). 1).
, тогда
- начальный момент порядка
случайной величины
. При дополнительном условии
получаем
- математическое ожидание случайной величины
, при
-
- среднее ее квадрата и т.д. Таким образом, при
смешанные моменты (54.2) совпадают с начальными моментами случайной величины
. 2). Если положить
, тогда
- смешанные моменты совпадают с начальными моментами случайной величины
. В обоих случаях получаем индивидуальные характеристики одной из случайных величин. 3). Для получения групповой характеристики (54.2), отражающей свойства совокупности двух случайных величин, необходимо рассмотреть ненулевые
. Наиболее простой вариант:
,
. При этом из (54.2) следует

. (54.3)

Число

называется корреляцией случайных величин
и
и представляет собой важнейшую характеристику совокупности двух случайных величин.

Если

и
- независимы, то
и (54.3) преобразуются следующим образом: