, (54.4)
где и . При этом выражается через индивидуальные характеристики и , т.е. каких-либо групповых эффектов в не проявляется, что является следствием независимости случайных величин и . Из цепочки преобразований (54.4) следует равенство - математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
54.2. Аналогично (54.2) числа
(54.5)
называются центральными смешанными моментами, порядка . Наиболее важной групповой характеристикой двух случайных величин среди чисел (54.5) является ковариация
, (54.6)
которая является центральным смешанным моментом порядка . Для ковариации используется также обозначение: . Если , то - совпадает с дисперсией случайной величины .
Если и - независимы, то из (54.6) следует, что ковариация
.
Обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. из равенства в общем не следует независимость случайных величин и . В частности, обратное утверждение справедливо, если и - гауссовы случайные величины. Более подробно этот вопрос обсуждается ниже.
54.3. Найдем связь между корреляцией и ковариацией случайных величин и . Из определения ковариации (54.6) следует
.
Таким образом, ковариация и корреляция связаны соотношением
. (54.7)
55.1. Пусть случайные величины и имеют математические ожидания , , дисперсии , , корреляцию и ковариацию . Рассмотрим неравенство
. (55.1)
Возведем в квадрат, затем оператором математического ожидания подействуем на каждое слагаемое, тогда (55.1) принимает вид:
,
что далее сводится к неравенству
. (55.2)
Его левая часть может быть как положительной так и отрицательной, правая часть - только положительна. Поэтому неравенство (55.2) обычно записывается в более сильном варианте:
. (55.3)
Таким образом, корреляция случайных величин и принимает значения из интервала .
Соотношение, аналогичное (55.3) можно получить и для ковариации , если в исходном выражении (55.1) вместо подставить центрированную случайную величину и вместо соответственно . При этом необязательно выполнять все преобразования, аналогичные (55.1) - (55.3), достаточно учесть, что замена и приводит к замене на , на , а также на . Поэтому из (55.3) следует
. (55.4)
55.2. Неравенства, определяющие область значений корреляции и ковариации , аналогичные (55.3), (55.4), можно получить в другом виде на основе следующего очевидного неравенства:
. (55.5)
Отсюда , поэтому справедливо неравенство
. (55.6)
Если в (55.5) заменить соответственно на и , то в (55.6) заменяется на , на и на . Поэтому (55.6) принимает вид:
. (55.7)
Для независимых случайных величин и ковариация . В отличие от этого рассмотрим другой крайний случай, когда случайные величины и связаны функциональной зависимостью: