
Рис. 57.2. Линии равного уровня плотности
вероятности при

.
Отметим, что если

, а линии равного уровня имеют ось симметрии, например, на рис. 57.1 линии – это эллипсы, тогда можно выполнить преобразование (вращение) системы координат

, такое, что в новой системе ковариация

. Это означает также и преобразование случайных величин

,

с ненулевой ковариацией к новым случайным величинам, для которых ковариация равна нулю.
58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин

и

называется число

. (58.1)
Коэффициент корреляции является ковариацией:

двух безразмерных случайных величин

,

, (58.2)
полученных из исходных величин

и

путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние

,

и единичные дисперсии

,

.
Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию

случайных величин

и

:

. (58.3)
Поскольку

, то из (58.3) следует

. (58.4)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале

и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами

и

, в отличие от ковариации

, для которой интервал значений

зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства

как меры статистической связи между случайными величинами.
58.2. Пусть

- случайная величина с математическим ожиданием

, дисперсией

и

. Ковариация случайных величин

и

определяется формулой (56.5):

. Подставим это соотношение в (58.3) , тогда:

(58.4)
Таким образом, для случайных величин

,

, связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции

принимает либо максимальное значение

, либо минимальное -

.
58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины

и

на линейную случайную функцию следующего вида:

(58.5)
где

и

- независимые случайные величины. В частном случае

- число и (58.5) – линейная функция, определяющая

через

. Для детерминированной линейной связи

- принимает максимальное значение. Если

- случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к

. В зависимости от свойств случайной величины

статистическая связь между

и

может быть сильной,

, или слабой,

. Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами

и

(58.5) вычислим их коэффициент корреляции.
Пусть

,

,

,

. Тогда из (58.5) следует, в силу независимости

и

:

.
Выразим дисперсию случайные величины

через параметры случайных величин

,

:

. (58.6)
Теперь по формуле (58.3):

. (58.7)
Если

, то из (58.7) следует

, что соответствует слабой связи между случайными величинами

и

. Если

, из (58.7) следует

, связь становится сильной и в пределе при

переходит в детерминированную линейную связь.