Случайные вектора (стр. 6 из 13)
Рис. 57.2. Линии равного уровня плотности
вероятности при
.Отметим, что если
, а линии равного уровня имеют ось симметрии, например, на рис. 57.1 линии – это эллипсы, тогда можно выполнить преобразование (вращение) системы координат 
, такое, что в новой системе ковариация 
. Это означает также и преобразование случайных величин 
, 
с ненулевой ковариацией к новым случайным величинам, для которых ковариация равна нулю. Коэффициент корреляции
58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин 
и 
называется число
. (58.1)
Коэффициент корреляции является ковариацией: 
двух безразмерных случайных величин
, 
, (58.2)
полученных из исходных величин и путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние 
, 
и единичные дисперсии 
, 
.
Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию 
случайных величин и :
. (58.3)
Поскольку 
, то из (58.3) следует
. (58.4)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале 
и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами и , в отличие от ковариации , для которой интервал значений 
зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства 
как меры статистической связи между случайными величинами.
58.2. Пусть 
- случайная величина с математическим ожиданием 
, дисперсией 
и 
. Ковариация случайных величин и определяется формулой (56.5): 
. Подставим это соотношение в (58.3) , тогда:
(58.4)
Таким образом, для случайных величин , , связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции 
принимает либо максимальное значение 
, либо минимальное - 
.
58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины и на линейную случайную функцию следующего вида:
(58.5)
где 
и - независимые случайные величины. В частном случае 
- число и (58.5) – линейная функция, определяющая через . Для детерминированной линейной связи 
- принимает максимальное значение. Если 
- случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к 
. В зависимости от свойств случайной величины статистическая связь между и может быть сильной, 
, или слабой, 
. Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами и (58.5) вычислим их коэффициент корреляции.
Пусть 
, 
, 
, 
. Тогда из (58.5) следует, в силу независимости и 
:
.
Выразим дисперсию случайные величины через параметры случайных величин , :
. (58.6)
Теперь по формуле (58.3):
. (58.7)
Если 
, то из (58.7) следует 
, что соответствует слабой связи между случайными величинами и . Если 
, из (58.7) следует 
, связь становится сильной и в пределе при 
переходит в детерминированную линейную связь.