59.1. Пусть - множество элементов Расстоянием (метрикой) между элементами множества называется неотрицательная функция , удовлетворяющая следующим трем аксиомам:
, причем .
.
.
Вторая аксиома называется условием симметрии, а третья – неравенством треугольника. Если аксиому 1 ослабить: , тогда называется псевдометрикой. Для псевдометрики из условия не обязательно следует .
Пусть - множество случайных величин. Для каждой пары элементов этого множества можно также ввести расстояние вида
. (59.1)
Покажем, что функция является псевдометрикой. Аксиома 1 – очевидна: , причем из условия следует . Аксиома 2 также очевидна. Рассмотрим аксиому 3. Справедливы следующие преобразования:
(59.2)
Пусть - корреляция двух случайных величин и . Известно, что удовлетворяет неравенству (55.2)
. (59.3)
Подставим (59.3) в (59.2), тогда
, (59.4)
что и доказывает третью аксиому.
59.2. Пусть
, (59.5)
- нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:
, (59.6)
где - коэффициент корреляции случайных величин и . Из (59.6) следует равенство
(59.7)
которое можно рассматривать как закон сохранения: величина - постоянная для любых случайных величин и . Это равенство позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции как величины, дополняющей расстояние до единицы.
Во многих приложениях теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность случайных величин , которая называется многомерной ( - мерной) случайной величиной или -мерным случайным вектором . Полное вероятностное описание - мерного случайного вектора задается функцией распределения вероятностей (или плотностью вероятности , или характеристической функцией ). Функция аргументов
(60.1)
называется функцией распределения вероятностей случайного вектора . Здесь случайное событие
(60.2)
- представляет пересечение событий вида . В записях вида (60.1) для краткости символ пересечения принято заменять запятой.
Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.
1. Пусть - независимые случайные величины, тогда события , , - независимы и формула (60.1) принимает вид
, (60.3)
где - функция распределения вероятностей случайной величины . Таким образом, для независимых случайных величин их совместная функция распределения представима произведением одномерных функций .
Для любого
. (60.4)
Доказательство следует из определения (60.1). Событие является невозможным, поэтому и событие (60.2) - невозможное, его вероятность равна нулю, следовательно выполняется соотношение (60.4).
Для любого
. (60.5)
Это равенство также следует из определения. Событие - достоверное и в пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1) следует (60.5).
Если для всех , то