Смекни!
smekni.com

Случайные вектора (стр. 7 из 13)

Коэффициент корреляции и расстояние

59.1. Пусть

- множество элементов
Расстоянием (метрикой) между элементами
множества
называется неотрицательная функция
, удовлетворяющая следующим трем аксиомам:

, причем
.

.

.

Вторая аксиома называется условием симметрии, а третья – неравенством треугольника. Если аксиому 1 ослабить:

, тогда
называется псевдометрикой. Для псевдометрики из условия
не обязательно следует
.

Пусть

- множество случайных величин. Для каждой пары
элементов этого множества можно также ввести расстояние
вида

. (59.1)

Покажем, что функция

является псевдометрикой. Аксиома 1 – очевидна:
, причем из условия
следует
. Аксиома 2 также очевидна. Рассмотрим аксиому 3. Справедливы следующие преобразования:

(59.2)

Пусть

- корреляция двух случайных величин
и
. Известно, что
удовлетворяет неравенству (55.2)

. (59.3)

Подставим (59.3) в (59.2), тогда

, (59.4)

что и доказывает третью аксиому.

59.2. Пусть

,
(59.5)

- нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:

, (59.6)

где

- коэффициент корреляции случайных величин
и
. Из (59.6) следует равенство

(59.7)

которое можно рассматривать как закон сохранения: величина

- постоянная для любых случайных величин
и
. Это равенство позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции
как величины, дополняющей расстояние
до единицы.

Функция распределения вероятностей случайного вектора

Во многих приложениях теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность

случайных величин
, которая называется многомерной (
- мерной) случайной величиной
или
-мерным случайным вектором
. Полное вероятностное описание
- мерного случайного вектора задается функцией распределения вероятностей
(или плотностью вероятности
, или характеристической функцией
). Функция
аргументов

(60.1)

называется функцией распределения вероятностей случайного вектора

. Здесь случайное событие

(60.2)

- представляет пересечение

событий вида
. В записях вида (60.1) для краткости символ пересечения
принято заменять запятой.

Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.

1. Пусть

- независимые случайные величины, тогда события
,
, - независимы и формула (60.1) принимает вид

, (60.3)

где

- функция распределения вероятностей случайной величины
. Таким образом, для независимых случайных величин их совместная функция распределения
представима произведением одномерных функций
.

Для любого

. (60.4)

Доказательство следует из определения (60.1). Событие

является невозможным, поэтому и событие (60.2) - невозможное, его вероятность равна нулю, следовательно выполняется соотношение (60.4).

Для любого

. (60.5)

Это равенство также следует из определения. Событие

- достоверное и в пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1) следует (60.5).

Если

для всех
, то