, (60.6)
как вероятность достоверного события.
5. Функция распределения - непрерывна справа по каждому своему аргументу.
Пусть случайный вектор имеет функцию распределения вероятностей и существует частная производная
, (61.1)
тогда функция называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора или - мерной плотностью вероятности. При этом функция и сам вектор называются непрерывными.
Рассмотрим основные свойства плотности вероятности случайного вектора.
1. Пусть - независимые случайные величины, тогда функция распределения вероятностей вектора представима в виде произведения одномерных функций, формула (60.3). Подставляя (60.3) в (61.1), получим
, (61.2)
где
(61.3)
- плотность вероятности случайной величины .
2. Пусть - малое приращение аргумента . Тогда из (61.1) следует
, (61.4)
где - разность порядка функции , определяемая соотношением:
,
,…
Из определения функции , формула (60.1), следует
, (61.5)
затем из (61.4), (61.5) получаем вероятность попадания случайного вектора в -мерный параллелепипед со сторонами :
. (61.6)
Из (61.6) следует
. (61.7)
4. Аналогично из (61.6)
. (61.8)
5. Условие нормировки для плотности вероятности также следует из соотношения (61.6):
. (61.9)
6. Пусть - область - мерного пространства, тогда - вероятность того, что - мерный случайный вектор принимает значение из области , определяется через плотность :
. (61.10)
Доказательство этого соотношения следует из (61.6) с учетом того, что любая область может быть покрыта - мерными параллелепипедами при условии, что - наибольшая сторона параллелепипеда стремится к нулю.
7. Для любого
. (61.11)
Это равенство называется свойством согласованности плотности: из плотности вероятности порядка путем интегрирования по «лишнему» аргументу может быть получена плотность вероятности порядка . Для доказательства представим обе части равенства (60.5) через плотности, используя (61.8), тогда (60.5) принимает вид:
. (61.12)
Продифференцируем обе части этого равенства по аргументам , что приводит к выражению (61.11).
Случайный вектор называется нормально распределенным, если его плотность вероятности
, (62.1)
где ; - ковариационная матрица вектора , элемент которой является ковариацией случайных величин ; - определитель матрицы ; - матрица, обратная ковариационной.
Рассмотрим плотность вероятности в частном случае попарно некоррелированных случайных величин , для которых выполняется условие
, (62.2)
где - символ Кронекера. Таким образом, ковариационная матрица является диагональной, поскольку ее элементы (62.2) на главной диагонали – ненулевые, а вне главной диагонали - нулевые. Следовательно, определитель
. (62.3)
Элемент матрицы , обратной ковариационной можно найти по известной формуле:
, (62.4)
где - алгебраическое дополнение элемента матрицы . Из (62.3) следует
, (62.5)
а также при . Подстановка этих результатов в (62.4) приводит к выражению