Случайные вектора (стр. 9 из 13)

. (62.6)

Подставим (62.3), (62.6) в (62.1), тогда

, (62.7)

где

- плотность вероятности случайной величины . Таким образом, для гауссова случайного вектора из условия попарной некоррелированности его компонент , , следует условие (62.7) - независимости компонент случайного вектора.

Характеристическая функция случайного вектора

63.1 Функция

переменных

(63.1)

называется характеристической функцией случайного вектора

Если случайный вектор

является непрерывным, то его характеристическая функция (63.1) определяется через его плотность :

. (63.2)

Это соотношение является

- мерным преобразованием Фурье от функции . Поэтому плотность можно выразить через характеристическую функцию в виде обратного преобразования Фурье по отношению к (63.2):

. (63.3)

63.2 Несложно доказать следующие свойства характеристической функции.

3. Для независимых случайных величин

их совместная характеристическая функция , где - характеристическая функция случайной величины .

4. Для любого целого

, , справедливо соотношение:

63.3. Для нормально распределенного случайного вектора

его характеристическая функция находится подстановкой плотности вероятности (62.1) в (63.2.) и последующем вычислении - мерного интеграла (63.2). Это приводит к следующему выражению:

, (63.3)

где

- ковариация случайных величин и .

Функции от случайных величин

Пусть

- случайные величины, имеющие совместную плотность и совместную функцию распределения вероятностей . Пусть также заданы функций , переменных . Вместо аргументов функции подставим случайные величины , тогда

(64.1)

- новые случайные величины. Задача состоит в том, чтобы по известным функциям

, , , , найти функцию и плотность распределения вероятностей случайного вектора . Такая задача довольно часто возникает во многих приложениях теории вероятностей.

Сравнительно просто найти функцию распределения вероятностей

. Действительно, по определению:

(64.2)

Представим случайные величины

через , используя соотношения (64.1), тогда

(64.3)

Здесь вероятность можно представить в виде интеграла по области

от плотности :

(64.4)

где область

содержит все -мерные вектора , удовлетворяющие условию:

(64.5)

Плотность

вектора можно определить из (64.4) по формуле:

(64.6)

Соотношения (64.4), (64.6) определяют всего лишь метод решения задачи, но не само решение. Задача в конкретной постановке может быть как относительно простой, так и очень сложной, в зависимости от чисел

, , плотности и вида функций , определяющих область . Ниже рассмотрим примеры решения этой задачи для преобразования одной, двух и нескольких случайных величин.

Распределение вероятностей функции одной случайной величины

65.1. Пусть случайная величина

имеет плотность вероятности и функция одной переменной , , является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности случайной величины определяется соотношением: