Случайные вектора (стр. 9 из 13)
. (62.6)
Подставим (62.3), (62.6) в (62.1), тогда
, (62.7)
где 
- плотность вероятности случайной величины 
. Таким образом, для гауссова случайного вектора 
из условия попарной некоррелированности его компонент 
, 
, следует условие (62.7) - независимости компонент случайного вектора.
Характеристическая функция случайного вектора
63.1 Функция 
переменных
(63.1)
называется характеристической функцией случайного вектора 
.
Если случайный вектор 
является непрерывным, то его характеристическая функция (63.1) определяется через его плотность 
:
. (63.2)
Это соотношение является - мерным преобразованием Фурье от функции . Поэтому плотность можно выразить через характеристическую функцию 
в виде обратного преобразования Фурье по отношению к (63.2):
. (63.3)
63.2 Несложно доказать следующие свойства характеристической функции.
1. 
.
2. 
.
3. Для независимых случайных величин 
их совместная характеристическая функция 
, где 
- характеристическая функция случайной величины 
.
4. Для любого целого 
, 
, справедливо соотношение:
.
63.3. Для нормально распределенного случайного вектора 
его характеристическая функция находится подстановкой плотности вероятности (62.1) в (63.2.) и последующем вычислении - мерного интеграла (63.2). Это приводит к следующему выражению:
, (63.3)
где 
- ковариация случайных величин 
и 
.
Функции от случайных величин
Пусть 
- случайные величины, имеющие совместную плотность 
и совместную функцию распределения вероятностей 
. Пусть также заданы 
функций 
, 
переменных 
. Вместо аргументов 
функции 
подставим случайные величины 
, тогда
(64.1)
- новые случайные величины. Задача состоит в том, чтобы по известным функциям , 
, 
, , найти функцию 
и плотность 
распределения вероятностей случайного вектора 
. Такая задача довольно часто возникает во многих приложениях теории вероятностей.
Сравнительно просто найти функцию распределения вероятностей 
. Действительно, по определению:
(64.2)
Представим случайные величины 
через 
, используя соотношения (64.1), тогда
(64.3)
Здесь вероятность можно представить в виде интеграла по области 
от плотности 
:
(64.4)
где область содержит все 
-мерные вектора 
, удовлетворяющие условию:
(64.5)
Плотность 
вектора 
можно определить из (64.4) по формуле:
(64.6)
Соотношения (64.4), (64.6) определяют всего лишь метод решения задачи, но не само решение. Задача в конкретной постановке может быть как относительно простой, так и очень сложной, в зависимости от чисел 
, , плотности и вида функций , определяющих область . Ниже рассмотрим примеры решения этой задачи для преобразования одной, двух и нескольких случайных величин.
Распределение вероятностей функции одной случайной величины
65.1. Пусть случайная величина имеет плотность вероятности 
и функция одной переменной 
, 
, является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности 
случайной величины 
определяется соотношением: