Случайные вектора (стр. 1 из 13)

В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей (после случайного события и случайной величины). Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные.

Совместной функцией распределения вероятностей (или двумерной функцией распределения вероятностей) случайных величин

(или случайного вектора

) называется функция

. (50.1)

Следует иметь в виду, что

- вероятность события - пересечения двух событий: и . В записях вида (50.1) принято вместо символа использовать запятую.

50.1. Рассмотрим основные свойства функции

, следующие из ее определения.

1).

, где - функция распределения вероятностей случайной величины . Действительно, - достоверное событие, поэтому . Аналогично , где - функция распределения вероятностей случайной величины .

2).

, поскольку события , - достоверные, следовательно их пересечение – достоверное событие и .

3).

, поскольку событие - невозможное и . Аналогично .

4).

- неубывающая функция аргумента , а также неубывающая функция аргумента .

5).

непрерывна справа по каждому аргументу.

50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции

. Пусть случайные величины , являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора можно рассматривать как точку на плоскости, а функция определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.

Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции

Представим вероятность

- попадания случайного вектора в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что

Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.

(50.2)

Пусть

, - малые величины и функция имеет первые производные по и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:

. (50.3)

Отсюда:

. (50.4)

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

Пусть у функции

существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин и называется функция

(51.1)

Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.

1. Справедливо соотношение:

. (51.2)

Для доказательства используем равенство (51.1), тогда: