Особенности решения задач в эконометрике (стр. 1 из 5)
Задание 1.
По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков:
х - выпуск продукции, тыс. ед.;
у - затраты на производство, млн. руб.
| x | y |
| 5,3 | 18,4 |
| 15,1 | 22,0 |
| 24,2 | 32,3 |
| 7,1 | 16,4 |
| 11,0 | 22,2 |
| 8,5 | 21,7 |
| 14,5 | 23,6 |
| 10,2 | 18,5 |
| 18,6 | 26,1 |
| 19,7 | 30,2 |
| 21,3 | 28,6 |
| 22,1 | 34,0 |
| 4,1 | 14,2 |
| 12,0 | 22,1 |
| 18,3 | 28,2 |
Требуется:
4. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи;
5. Построить модели:
2.1 Линейной парной регрессии;
2.2 Полулогарифмической парной регрессии;
2.3 Степенной парной регрессии; Для этого:
1. Рассчитать параметры уравнений;
2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса) корреляции;
3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса) детерминации и средней ошибки аппроксимации;
4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом;
5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования;
3. По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии;
4. Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность;
5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости
=0,05 определить доверительный интервал прогноза.Решение.
1. Строим поле корреляции.
Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх, или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ахb.
Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х вида у=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a, такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.
2.1 Модель линейной парной регрессии
2.1.1 Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии у=а+bх.
Строим расчетную таблицу 1.
Таблица 1
| № | x | y | yx | x2 | y2 |  |  | Аi |
| 1 | 5,3 | 18,4 | 97,52 | 28,09 | 338,56 | 16,21 | 2,19 | 11,92 |
| 2 | 15,1 | 22,0 | 332,20 | 228,01 | 484,00 | 24,74 | -2,74 | 12,46 |
| 3 | 24,2 | 32,3 | 781,66 | 585,64 | 1043,29 | 32,67 | -0,37 | 1,14 |
| 4 | 7,1 | 16,4 | 116,44 | 50,41 | 268,96 | 17,77 | -1,37 | 8,38 |
| 5 | 11,0 | 22,2 | 244,20 | 121,00 | 492,84 | 21,17 | 1,03 | 4,63 |
| 6 | 8,5 | 21,7 | 184,45 | 72,25 | 470,89 | 18,99 | 2,71 | 12,47 |
| 7 | 14,5 | 23,6 | 342,20 | 210,25 | 556,96 | 24,22 | -0,62 | 2,62 |
| 8 | 10,2 | 18,5 | 188,70 | 104,04 | 342,25 | 20,47 | -1,97 | 10,67 |
| 9 | 18,6 | 26,1 | 485,46 | 345,96 | 681,21 | 27,79 | -1,69 | 6,48 |
| 10 | 19,7 | 30,2 | 594,94 | 388,09 | 912,04 | 28,75 | 1,45 | 4,81 |
| 11 | 21,3 | 28,6 | 609,18 | 453,69 | 817,96 | 30,14 | -1,54 | 5,39 |
| 12 | 22,1 | 34,0 | 751,40 | 488,41 | 1156,00 | 30,84 | 3,16 | 9,30 |
| 13 | 4,1 | 14,2 | 58,22 | 16,81 | 201,64 | 15,16 | -0,96 | 6,77 |
| 14 | 12,0 | 22,1 | 265,20 | 144,00 | 488,41 | 22,04 | 0,06 | 0,26 |
| 15 | 18,3 | 28,2 | 516,06 | 334,89 | 795,24 | 27,53 | 0,67 | 2,38 |
| Σ | 212,0 | 358,5 | 5567,83 | 3571,54 | 9050,25 | 358,50 | 0,00 | 99,69 |
| среднее | 14,133 | 23,900 | 371,189 | 238,103 | 603,350 | 23,90 | 0,00 | 6,65 |
Параметры a и b уравнения
Yx = a + bx
определяются методом наименьших квадратов:
Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:
Уравнение регрессии:
=11,591+0,871x
С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.
2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.
Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.
Средние квадратические отклонения:
Коэффициент корреляции:
Между признаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.
2.1.3 Оценим качество построенной модели.
Определим коэффициент детерминации:
т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.
Следовательно, качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации Аi .
Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения
для каждого значения фактора.Ошибка аппроксимации Аi, i=1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
5.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.
2.1.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H0, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:
Найдем фактическое значение F- критерия Фишера:
следовательно, гипотеза H0 отвергается, принимается альтернативная гипотеза H1: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.
Построим полученное уравнение.
2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.
2.2.1. Рассчитаем параметры а и b в регрессии:
уx =а +blnх.
Линеаризуем данное уравнение, обозначив:
z=lnx.
Тогда:
y=a + bz.
Параметры a и b уравнения
= a + bz
определяются методом наименьших квадратов:
Рассчитываем таблицу 2.Таблица 2
| № | x | y | z | yz | z2 | y2 |  |  | Аi |
| 1 | 5,3 | 18,4 | 1,668 | 30,686 | 2,781 | 338,56 | 15,38 | 3,02 | 16,42 |
| 2 | 15,1 | 22,0 | 2,715 | 59,723 | 7,370 | 484,00 | 25,75 | -3,75 | 17,03 |
| 3 | 24,2 | 32,3 | 3,186 | 102,919 | 10,153 | 1043,29 | 30,42 | 1,88 | 5,83 |
| 4 | 7,1 | 16,4 | 1,960 | 32,146 | 3,842 | 268,96 | 18,27 | -1,87 | 11,42 |
| 5 | 11,0 | 22,2 | 2,398 | 53,233 | 5,750 | 492,84 | 22,61 | -0,41 | 1,84 |
| 6 | 8,5 | 21,7 | 2,140 | 46,439 | 4,580 | 470,89 | 20,06 | 1,64 | 7,58 |
| 7 | 14,5 | 23,6 | 2,674 | 63,110 | 7,151 | 556,96 | 25,34 | -1,74 | 7,39 |
| 8 | 10,2 | 18,5 | 2,322 | 42,964 | 5,393 | 342,25 | 21,86 | -3,36 | 18,17 |
| 9 | 18,6 | 26,1 | 2,923 | 76,295 | 8,545 | 681,21 | 27,81 | -1,71 | 6,55 |
| 10 | 19,7 | 30,2 | 2,981 | 90,015 | 8,884 | 912,04 | 28,38 | 1,82 | 6,03 |
| 11 | 21,3 | 28,6 | 3,059 | 87,479 | 9,356 | 817,96 | 29,15 | -0,55 | 1,93 |
| 12 | 22,1 | 34,0 | 3,096 | 105,250 | 9,583 | 1156,00 | 29,52 | 4,48 | 13,18 |
| 13 | 4,1 | 14,2 | 1,411 | 20,036 | 1,991 | 201,64 | 12,84 | 1,36 | 9,60 |
| 14 | 12,0 | 22,1 | 2,485 | 54,916 | 6,175 | 488,41 | 23,47 | -1,37 | 6,20 |
| 15 | 18,3 | 28,2 | 2,907 | 81,975 | 8,450 | 795,24 | 27,65 | 0,55 | 1,95 |
| Σ | 212,0 | 358,5 | 37,924 | 947,186 | 100,003 | 9050,25 | 358,50 | 0,00 | 131,14 |
| Средн. | 14,133 | 23,900 | 2,528 | 63,146 | 6,667 | 603,350 | 23,90 | 0,00 | 8,74 |
Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b: