Далее отыскиваем минимальные элементы ЧУМа
, изображаем их точками “третьего ряда” и соединяем точками “второго ряда” указанным выше способом. Продолжаем процесс до тех пор , пока не будут исчерпаны все элементы данного ЧУМа
S. Процесс конечен в силу конечности множества
S. Полученную совокупность точек и отрезков называют
диаграммой ЧУМа S. При этом
a < в тогда и только тогда, когда от “точки”
а можно перейти к “точки”
в по некоторой “восходящей” ломаной. В силу этого обстоятельства , любое конечное ЧУМ можно отождествить с его диаграммой.
Пример 5.
| |
Здесь задано диаграммой ЧУМ S = {m
, m 
, 
, 
, 
, 
},в которой m 
< , m 
< , m < 
m < 
, m < m < , m < .Элемент m называется наименьшим элементом ЧУМа, если для любого x
A всегда m ≤ x. Понятно, что наименьший элемент является минимальным, но обратное не верно: не всякий минимальный элемент является наименьшим. Наименьший элемент (если такой имеется) только один. Аналогично определяется наибольший элемент.
Пример 6.
· · · · Это ЧУМ , элементы которого попарно несравнимы. Такие частично
упорядоченные множества называются антицепями.
Пример 7.
· 0
Эта цепь с наименьшим и наибольшим элементом. Где 0 - наименьший элемент , а 1 – наибольший элемент.
Пусть М – подмножество частичного упорядоченного множества А. Элемент а
A называют нижней гранью множества М, если а ≤ х для любого x М. Наибольшая из всех нижних граней множества М, если она существует, называется точной нижней гранью множества М и обозначают inf M.
Пусть < А, ≤ > - произвольный ЧУМ. Элемент с
A называется точной нижней гранью элементов a,в A, если с = inf{a,в}. Замечание 1.
Не во всяком ЧУМ для любых двух элементов существует точная нижняя грань.
Покажем это на примере.
Пример 8.
Для {a;c},{d;e} нет нижней грани,
inf{a;в}=d, inf{в;c}=e.
Пример 9.
Приведем пример ЧУМ, у которого для любых элементов существует точная нижняя грань. inf{a;в}=d, inf{a;d}=d, inf{a;0}=0, inf{a;c}=0, inf{a;e}=0,
inf{в;c}=e, inf{в;e}=e, inf{в;d}=d,
inf{c;e}=c, inf{c;0}=0, inf{c;d}=0,
inf{d;e}=0, inf{d;0}=0,
inf{e;0}=0.
Определение: Частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует точная нижняя грань, называется полурешеткой.
Пример 10.
Приведем пример ЧУМ, которое не является полурешеткой.
Пусть < N, ≤ > - линейно - упорядоченное множество натуральных чисел и e
,e 
N. На множестве N 
=N 
{ e ,e } определим бинарное отношение ≤ , пологая что x ≤ y, если x,y N, где x ≤ y, или если x N, y { e ,e }. Также считаем по определению : e ≤ e ,e ≤ e .Диаграмма этого ЧУМ следующая:
|
Любое натуральное число n ≤ e
и n ≤ e , но в N нет наибольшего элемента, следовательно, N - ЧУМ, но не полурешетка.Итак, по самому определению, полурешетка есть модель (как множество с отношением ≤ ). Как мы сейчас увидим к понятию полурешетки возможен и другой подход, а именно, полурешетку можно определить как некоторую алгебру.
Для этого введем некоторые дополнительные алгебраические понятия. Как известно, полугруппой называется непустое множество с заданной на нем ассоциативной бинарной алгебраической операцией.
