Смекни!
smekni.com

Упорядоченные множества (стр. 6 из 8)

Пусть (x·yz

Ø т.к. х
а
, то либо х = с

х = в

1) пусть х = с, тогда у = в

у = с

а) пусть у = в, тогда z = a

(с·ва

Ø
с
·(в·а) определено

(с·ва = с·(в·а) равенство выполняется

б) пусть у = с, тогда z = в

z = с

а’) если z = в , тогда

(с·св

Ø
с
·(с·в) определено

(с·св = с·(с·в) равенство выполняется

б’) если z = с, тогда

(с·сс

Ø
с
·(с·с) определено

(с·сс = с·(с·с) равенство выполняется

2) пусть х = в, тогда у = а , а z = в

z = c

а) если у = а и z = в

(в·ав

Ø= в·(а·в) не определено

(в·ав

в·(а·в) равенство не выполняется

б) пусть у = а и z = с

(в·ас

Ø= в·(а·с) не определено

(в·ас

в·(а·с) равенство не выполняется

Итак, по определению, частичный группоид не является сильно ассо­циативным . Но это еще не означает, что (S ; · ) не является слабо ассоциа­тивным.

Выясним это.

Пусть (x·yz

Ø

x·(y·z)
Ø .

При х

а, у
а
, а именно, когда

х = в

х = с

у = в

у = с

этот частичный группоид является слабо ассоциативным.

Пример 4.

Пусть А = {a, в,с}, можно задать на А следующую таблицу Кэли. Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли этот группоид средне ассоциативным.


a в с
а с а
в
с а а

Пусть (x·yz

Ø т.к. х
в
, тогда х = а

х = с

1) пусть х = а, тогда у = а

у = в

а) пусть у = а, тогда z = a, z = в

а’) если z = а , тогда

(а·аа

Ø
а
·a определено

(а·аа

а·(а·a) равенство не выполняется

б’) если z = в, тогда

(а·ав

Ø
а
·в определено

(а·ав

а·(а·в) равенство не выполняется

Отсюда, мы видим, что группоид не является средне ассоциативным. Выяс­ним является ли он слабо ассоциативный.

Пусть (x·yz

Ø

x·(y·z)
Ø, т.к. х
в
, тогда х = а
х = с

1) пусть х = а, тогда у = а

у = в

а) пусть у = а, тогда z = a, z = в

а’) если z = а , тогда

(а·аа

Ø= а·(а·a) не определено

(а·аа

а·(а·a)

б’) если z = в, тогда

(а·ав

Ø
а
·(а·в) определено

(а·ав = а·(а·в) равенство выполняется

б) пусть у = в, тогда z = a, z = в

а’) если z = а , тогда

(а·ва

Ø= а·(в·a) не определено

(а·ва

а·(в·a)

б’) если z = в, тогда

(а·вв

Ø
а
·(в·в) не определено

(а·вв

а·(в·в) равенство не выполняется

2) пусть х = с, тогда у = а , у = в

а) пусть у = а, тогда z = a, z = в

а’) если z = а , тогда

(с·аа

Ø= с·(а·a) не определено

(с·аа

с·(а·a) равенство не выполняется

б’) если z = в, тогда

(с·ав

Ø
с
·(а·в) определено

(с·ав = с·(а·в) равенство выполняется

Итак , мы видим что частичный группоид является слабо ассоциативным при х = а и z = в или при х = с если у = а и z = в.

Определение 4.

Частичный группоид (S ; · ) называется коммутативным, если

(

х,y
S
) x·y = y·х

Определение 5.

Частичный группоид (S ; · ) называется катенарным, если

(

х,y,z
S
) (x·y
Ø
y·z) → [(x·yz
Ø
x·(y·z)]

Определение 6.

Частичный группоид (S ; · ) называется идемпотентным, если

(

х
S
) х
= х