Упорядоченные множества (стр. 7 из 8)

Приведем пример некатенарного частичного группоида.

Пример 5.

^	а	в	с	d
a	a	─	c	d
в	─	в	с	d
с	c	c	c	─
d	d	d	─	d

Имеем с

а = с

Ø, а

d = d

Ø. Однако, (с

а)

d = c

d

Ø. Следовательно, заданный ЧГ не является катенарным.

Ясно, что понимаем под термином “ общая верхняя грань” элементов а и в некоторого ЧУМ.

Определение 7.

ЧУМ называется категорийным, если любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань.

Пример 6.

Чум не является категорийным, т.к. элементы с и d имеют верхнюю грань , но не имеют точную нижнюю грань.

Пример 7.

Частично упорядоченное множество, задаваемое таблицей Кэли:

	а	в	с	d	e	f	g	h	k	s
a	a	в	c	d	h	g	g	h		
в	в	в	d	d	0	g	g	0		
c	c	d	c	d	h	0	0	h		
d	d	d	d	d	0	0	0	0		
e	h	0	h	0	e	0	0	h		
f	g	0	0	0	0	f	g	0		
g	G	g	0	0	0	g	g	0		
h	h	0	h	0	h	0	0	h		
k									k	s
s									s	s

является категорийным, так как любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань.

Пример 8.

Частично упорядоченное множество

имеющее следующую таблицу Кэли:

•	а	в	с	d	f
а	а	с	с	-	-
в	с	в	с	-	-
с	с	с	с	-	-
d	-	-	-	d	f
f	-	-	-	f	f

является категорийным, так как любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань.

Понятно, что всякая полурешетка – это категорийное ЧУМ (но не на оборот), т.к. любые два элемента имеют точную нижнюю грань. Иными словами, класс всех категорийных ЧУМ содержит класс всех полурешеток, но с ним не совпадает. Т.о. любое предложение, доказанное для категорийных ЧУМ влечет в качестве очевидного следствия некоторую теорему относительно полурешеток.

Приведем примеры полурешеток.

Пример 9.

Диаграмма: