Упорядоченные множества (стр. 8 из 8)

Проверим слабую ассоциативность.

Пусть (а

в)
с
Ø
а
(в
с) , обозначим

в = d, в
с = e, (а
в)
с = d
с = f, а
(в
с) = а
е = g

Докажем, что f = g.

По определению имеем f ≤ d ≤ a

f ≤ a,

f ≤ d ≤ в

f ≤ в (1)

f ≤ c (2)

Т.к. е = inf{в,с}, то из (1), (2) следует, что f ≤ e. Т.о. f – некоторая общая нижняя грань для а и е, а g – их точная нижняя грань, поэтому

f ≤ g (3)

Аналогично,

g ≤ f (4)

Неравенство (3), (4) и антисимметричность отношения ≤ обеспечивают f = g. Слабая ассоциативность доказана.

Проверим катенарность S.

Пусть а

в
Ø
в
с , обозначим а
в = х , в
с = y, отсюда х ≤ в, у ≤ в, т.е.

в – общая верхняя грань х и у. Т.к. ЧУМ S категорийно, то существует inf{х,у}, т.е. существует в S х

у. Обозначим х
у = z, покажем ,что

(в
с) = х
с = z. Имеем z ≤ x, z ≤ y (т.к. z = inf{х,у}), y ≤ z
z ≤ x, z ≤ c,

z – нижняя грань для х и с.

Обеспечим точность.

Пусть t ≤ x , t ≤ c ( t – какая – либо нижняя грань ), т.к. t ≤ x , то t ≤ a, t ≤ в, по условию t ≤ с, т. е. t – общая нижняя грань для в и с. Отсюда следует по определению у , t ≤ y.

Итак, t ≤ x, t ≤ у следовательно t ≤ z (по определению z).

Катенарность доказана.

Теорема 2.

Если (S ; ·) – катенарный идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид, то отношение

≤ = { (а,в)

S×S | ав = а

} (2)

Является отношением порядка. При этом ЧУМ <S ; ≤ > – является катенарным.

Доказательство:

Докажем рефлексивность отношения ≤ . Т.к. частичный группоид S идемпотентен , то a·a = a отсюда , по определению (2) а ≤ а.

Проверим антисимметричность.

Если а ≤ в , в ≤ а ,то а·в = а, в·а = в, левые части равны в виду коммутативности , значит равны и правые, следовательно а = в.

Осталось доказать транзитивность.

Пусть а ≤ в , в ≤ с, тогда а·в = а, в·с = в, а·с = (а·в)·с. В силу катенарности имеем (а·в)·с

Ø , а·(в·с)

Ø , отсюда в силу слабой ассоциативности

(а·в)·с = а·(в·с), а поэтому, а·с = а·(в·с) = а·в = а.

Итак, а·с = а, т.е. а ≤ с.

Т.о. имеем ЧУМ <S ; ≤ > .

Проверим категоричность ЧУМ.

Пусть z – общая верхняя грань для х и у. Следовательно, х ≤ z, y ≤ z , отсюда х·z = x, y·z = y, тогда z·y = y. В силу катенарности (x·y)·z

x·y

Ø.

Обозначим х·у =s, докажем , что s точная нижняя грань .

Имеем s·x = (x·y)·x = x·(x·y) = (x·x)·y = x·y = s (в виду катенарности и слабой ассоциативности), следовательно, s ≤ x, т.е. s – общая нижняя грань.

Из этих теорем вытекают известные в теории полурешеток два следствия.

Следствие 1.

Если <S ; · > - идемпотентная коммутативная полугруппа, то отношение ≤ , определенное равенством (2), является частичным порядком. При этом для любых двух элементов в S существует точная нижняя грань.

Следствие 2.

Если <S ; · > - частично упорядоченное множество, в котором любых двух элементов существует точная нижняя грань, то относительно операции

в = inf{a,в} (3)

множество S является идемпотентной коммутативной полугруппой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении можно отметить, что теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 – понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906–07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского – расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее – в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914).

Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связанная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры.

К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвященных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко.

Список литературы

1. А.К. Клифорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп. 1972.

2. Грейцер. Общая теория решеток.Москва.-284с.

3. Кожевников О.Б. Частично упорядоченные множества частичных группоидов.Москва,1998. – 680с.

4. Е.С. Ляпин. Полугруппы. Москва: физмат, 1960.- 354с.

5. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел. Москва, 1980.-589с.