Место аналогии в обучении математике в школе (стр. 2 из 7)

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … :

a) используя свойство прибавления разности, получим:

S = (1 –1) + (1 – 1)+(1 – 1)+ … = 0 + 0 + 0 … = 0

б) используя свойство вычитания разности, получим:

S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0 - … = 1

в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем:

S = 1 – (1 – 1 + 1 - … ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = ½

Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.

По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрупленными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученными. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно значительно удалены друг от друга во времени. В установлении аналогий плоских и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.

Укажем схему, по которой следует проводить сравнение понятий.

1. Выделение признаков понятий.

2. Установление общих и существенных признаков.

3. Выбор одного из существенных признаков.

4. Сопоставление понятий по выбранному основанию.

АНАЛОГИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

В процессе обучения математике учителю следует не только самому пользоваться полезными аналогиями, но и приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. При этом учащиеся должны понимать, что выводы, полученные по аналогии, требуют обязательного обоснования, так как не исключено то, что они могут оказаться ошибочными. Например, по аналогии с известными признаками делимости на 3 и на 9 можно сформулировать вероятный признак делимости на 27: “ Если сумма цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27”. Однако это утверждение неверно и убедиться в этом можно на каком–нибудь конкретном примере (272745).

Приведем еще один пример.

Учитель спрашивает школьника:

- Как изменится площадь прямоугольника, если его основание увеличить в 2 раза, а боковую сторону уменьшить также в 2 раза?

- Площадь не изменится.

- Правильно. А если основание прямоугольника увеличить на 20%, а боковую сторону уменьшить на 20%, изменится ли его площадь?

- Нет, не изменится.

Последний ответ школьника уже не верен. В самом деле, обозначив основание прямоугольника через а, а боковую сторону через b, имеем: S = a * b .

В соответствии с условием основание измененного прямоугольника а1 = а + 0.2а и боковая сторона b1 = b – 0.2b. Тогда S1 = a1 * b1 = a(1 + 0.2) * b(1 – 0.2) = ab – 0.04ab.

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшится в этом случае на 4%.

Однако следует помнить, что широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных пробудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря, способствует также актуализации знаний).

Поэтому полезны и специально подобранные упражнения в применении метода аналогии, такие, например, как: 1) верно ли утверждение: ”Если в треугольнике все углы конгруэнтны, то и стороны конгруэнтны”? (сформулируйте аналогичное предположение для шестиугольника. Верно ли оно?) или 2) справедливо ли утверждение: “Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри (или на стороне) правильного треугольника до его сторон, есть величина постоянная “? Сформулируйте аналогичное предложение для какого либо многоугольника. Проверьте, будет ли оно истинным.

Применение аналогии распадается на следующие действия: построение аналогов различных заданных объектов и отношений; нахождение соответствующих элементов в аналогичных предложениях; составление предложений или задач, аналогичным данным; проведение рассуждений по аналогии.

Уже в младших классах второй ступени целесообразно подчеркивать аналогию между некоторыми плоскими и пространственными фигурами. Например, между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, между квадратом и кубом. Аналогия между квадратом и кубом состоит в том, что у квадрата его измерения равны и у куба его измерения равны. Учащиеся могут и сами догадаться, что грани куба – равные квадраты, все стороны квадрата – равные отрезки.

При знакомстве с понятиями площадьи объем можно установить аналогию между единицами длины и единицами площади, между единицами объема и единицами площади. Одновременно следует обратить внимание на сходство в формулировках определений понятий. Например, повторив с учащимися понятие квадратный сантиметр(квадратный сантиметр – это площадь квадрата со стороной 1 см), можно попросить самостоятельно дать определение понятию кубический сантиметр.

Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: “ Сколько квадратных сантиметров в 1 дм²? Сколько кубических сантиметров в 1 дм³?” Устранению таких трудностей способствует иллюстрация сходства между операциями перехода от линейной единицы измерения к квадратной или кубической. В обоих случаях вычисляется произведение одинаковых множителей, причем число множителей в произведении равно показателю при единице измерения: 1 дм² = 10 * 10 см², 1 дм³ = 10 * 10 * 10 см³.

Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при изучении признаков делимости. Рассмотрев с учащимися признак делимости, например, на 3, следует предложить им самим сформулировать признак делимости на 9. Ниже приведены те предложения, которые давал учитель ((1) – (4)), и те, что формулировали учащиеся по аналогии ((1*) – (4*)).

(1) На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

(2) На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0 или 5.

(3) Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

(4) На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

(1*) На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

(2*) На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.

(3*) Число делится на 8, если оно делится на 2 и 4.

(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Следует провести сравнение предложений. Одновременно необходимо подчеркнуть, что если данные высказывания (1) – (4) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого – либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так, высказывания (3*) и (4*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8. Теперь важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4 = 2 * 2), а 8 – в виде произведения трех одинаковых множителей (8 = 2 * 2 * 2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр – нулей равно числу простых множителей в разложении числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо (4*): на 8 делятся те числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так, как это показано в табл. 1).

Таблица 1

Натуральные числа

949 + 835

Подписываем слагаемые одно под

слагаемых находились друг под другом.

949

+

835

1784

Выполняем сложение поразрядно,

Десятичные дроби

95.37 + 101.4

другим так, чтобы одинаковые разряды

95.35

+

101.40

196.75

Так как число 101.4 не имеет сотых долей, то вместо сотых ставим 0.

начиная с единиц низшего разряда.

Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Упрочнению их способствует обычно и формальное усвоение материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:

5 * 3 = 3 * 5, но 5³≠ 3⁵; √5а² = √5 * √а², но √5 + а² ≠ √5 + √а²;

а * с ./ в * с = а / в, но а + с / в + с ≠ а / в (с ≠ 0).

Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению соответствующих элементов из аналогичных задач и теорем. Например, рассмотрим две пары задач из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 –10» (М., 1985).