Плоскостная изопериметрическая теорема может быть сформулирована и в таком виде: «Из всех плоских фигур равной площади наименьший периметр имеет круг».
Аналогом, в стереометрии этой последней формулировке теоремы будет такая теорема: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар».
Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в следующем виде: 36pV2 / S3 ≤ 1, где V – объем тела, S – площадь полной поверхности тела.
Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?»
Читателю будет небезынтересно узнать своеобразную трактовку изопериметрической теоремы, которую приводит Д. Пойа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» (М.: Наука, 1975. С. 187): «К изопериметрической теореме нас могут привести совсем примитивные рассмотрения. Мы можем научиться ей у кота. Я думаю, вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».
Изложенная выше стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет по новому, совсем с других позиций изучать тему «Тела вращения».
Известная формула для вычисления комфортности жилища: K = 36pV2 / S3 , где K – изопериметрический коэффициент комфортности, V – объем жилища, S – полная поверхность жилища, включая и пол. Учащимся можно предложить подсчитать коэффициент комфортности восточносибирского чума (рис. 1), яранги континентальных эскимосов Аляски (рис. 2), жилища береговых чукчей (рис. 3), жилища аборигенов Северной Австралии (рис. 4), жилища народов кирди в Камеруне (рис. 5), нашего обычного жилища в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6).
Изопериметрический коэффициент K всегда меньше единице или равен ей. Единственное тело, имеющее коэффициент, равный единице, - это шар. Не потому ли неопознанные летающие объекты шарообразны (как утверждают те, кто их видел)?
П р и м е р 2. Принцип Кавальери для плоских фигур – принцип Кавальери для пространственных фигур.
Итальянский математик Бонавертура Кавальери (1598 – 1647) в своем основном труде «Геометрия» (1635) развил новый метод определения площадей и объемов – так называемый метод неделимых. Неделимыми он называл параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости тела. Б. Кавальери доказал теорему, согласно которой площади двух подобных фигур относятся, как квадраты, а объемы – как кубы соответствующих неделимых. Эта теорема вошла в математику под названием принципа Кавальери. Приведем его формулировку.
Д л я п л о с к о с т и. Если две фигуры могут быть перемещены в такое положение, что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними равные отрезки, то такие фигуры равновелики.
Примером могут служить два параллелограмма (рис. 7) с равными основаниями и равными высотами.
Д л я п р о с т р а н с т в а. Если две объемные фигуры могут быть помещены в такое положение, что всякая плоскость, параллельная какой-нибудь заданной плоскости и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними плоские фигуры равной площади, то такие фигуры равновелики.
Примером могут служить две пирамиды с равными основаниями и равными высотами (рис. 8).
П р и м е р 3. Докажем для тетраэдра теорему, аналогичную теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
«Если три грани тетраэдра – прямоугольные треугольники (рис. 9), то S12+S22 + S32= S42 , где S1, S2, S3 – площади граней, составляющих прямой угол, S4 – площадь четвертой грани, лежащей против прямого трехгранного угла”.
Доказательство. Пусть длины катетов прямоугольных треугольников соответственно равны: у ∆АВД – а и b; у ∆АДС – а и d; у ∆АСВ – b и d, тогда
S1 = SАДВ = ½ аb; S2 = SАДС = ½ ad;
S3 = SАСВ = ½ bd. (1)
Для того чтобы найти S4 , найдем гипотенузу ∆АСВ: ВС = Öb2 + d2. Высота основания, проведенная к гипотенузе ВС, равна
АМ = bd + d/Öb2 +d2 .
Высоту четвертой грани (∆ДВС) будем искать по теореме Пифагора:
ДМ = Öа2 + bd/b2 + d2 .
Тогда
S4 = ½/Öb2 +d2 * Öа2 + bd/b2 + d2 = ½/Öb2 +d2 * Ö а2 d2 + а2 b2 + b2d2 /Öb2 +d2 = ½ Ö а2 d2 +а2 b2 + b2d2;
S42 = ¼(а2 d2 + а2 b2 + b2d2) (2)
Согласно равенствам (1), имеем:
S12+S22 + S32 =¼ а2 d2 +¼а2 b2 +¼ b2d2 = ¼(а2 d2 + а2 b2 + b2d2).
Так как равые части последнего равенства и равенства (2) равны, то равны и левые части:
S12+S22 + S32 = S42.
На случай пространства можно сформулировать и доказать и такую обобщенную теорему Пифагора для проекций: «Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые».
П р и м е р 4. Сформулируем для тетраэдра теорему, которая является аналогом такой плоскостной теоремы:
«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы».
Формулировка аналогичной теоремы для пространства:
«Если трехгранных угол одного тетраэдра равен трехгранному углу другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся, как произведения длин ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов».
П р и м е р 5. В планиметрии рассматривается такая задача:
«Как изменится площадь треугольника, если его высоту увеличить на m единиц?”
Решим ее. S = ½ ah, где a – основание треугольника, а h – высота треугольника.
S1 = ½ a(h + m) = ½ ah + ½ am; S - S1 = ½ am.
С геометрической точки зрения увеличение площади данного треугольника равно площади треугольника с тем же основанием a и высотой m (рис. 10). Следовательно, площади заштрихованных частей равны между собой.
Аналог этой задачи в стереометрии:
«Дана пирамида. Как изменится ее объем, если высоту увеличить на m единиц?»
Р е ш е н и е. 1
V = 1/3 Sосн *H; V1 = 1/3 Sосн * (H + m) = 1/3 Sосн *H + = 1/3 Sосн *m.
Имеем:
V1 – V= 1/3 Sосн *m,
Т. е. увеличение объема равно объему пирамиды с таким же основанием и высотой, равной m единиц.
Заметим, что аналогичную задачу можно рассмотреть и для конуса.
П р и м е р 6. Рассмотрим планиметрическую задачу:
“Имеются два треугольника с равными основаниями. Постройте треугольник, равновеликий объединению данных треугольников”.
Р е ш е н и е.
S = ½ ah1 + ½ ah2 = ½ a(h1 + h2),
т. е. искомый треугольник должен иметь такое же основание, что и у исходных треугольников, и его высота должна быть равна сумме высот исходных треугольников.
Этой задаче в стереометрии есть аналог:
«Две пирамиды (конуса) с равными основаниями замените одной пирамидой (конусом), равновеликой их объединению».
Р е ш е н и е.
V = 1/3 Sосн *H1 + 1/3 Sосн *H2 = 1/3 Sосн * (H1 + H2).
Таким образом, искомая пирамида (конус) должна иметь такое же основание, а ее высота должна быть равна сумме высот исходных пирамид (конусов).
П р и м е р 7. В планиметрии на случай прямоугольного треугольника решается задача:
«Пусть дан прямоугольный треугольник АВС: ÐС = 90°; СА = b, СВ = а, h - высота треугольника, проведенная из вершины С. Доказать равенство
1/h2=1/a2+1/b2».
Это равенство может быть обобщено на случай тетраэдра:
«Если в тетраэдре АВСЕ ребра ЕА, ЕВ, ЕС перпендикулярны между собой и их длины соответственно раны a, b, c и h – высота тетраэдра, проведенная из вершины Е, то имеет место равенство:
1/h2=1/a2+1/b2+1/с2».
П р и м е р 8. В планиметрии рассматривается следующая задача на доказательство:
«Даны две параллельные прямые; на одной из них произвольно взят отрезок АВ, а на другой - точка С. Докажите, что площадь треугольника АВС не зависит от выбора точки С».
Для трехмерного пространства, где аналогом треугольника выступает тетраэдр, эта задача будет формулироваться следующим образом:
Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них произвольно выбран отрезок АВ, на двух прямых – точки С и Д соответственно. Докажите, что объем тетраэдра АВСД не зависит от выбора точек С и Д».
В приведенных примерах параллельно формулировался плоскостной и аналогичный ему пространственный факт. Но, как показывает практика, для развития творческого развития учащихся, для формирования у них исследовательских умений, в частности умения строить гипотезы и выдвигать предположения, значительно полезнее предлагать школьникам самостоятельно формулировать, а затем и решать для плоскостных фактов их пространственные аналоги. Причем должны быть задачи как на прямое действие – переход от плоскости к пространству, так и на обратное действие – переход от пространства к плоскости. Ниже приведены задачи такого типа.
1. Сформулируйте на случай трехмерного пространства задачи, аналогичные нижеследующим плоскостным задачам, и затем решите их.