Функции нескольких переменных (стр. 3 из 4)
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если
– точка экстремума дифференцируемой функции 
, то ее частные производные 
и 
в этой точке равны нулю: 
.Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция
может иметь экстремум, а может и не иметь.Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция
: а) определена в некоторой окрестности критической точки 
, в которой 
и 
; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка 
. Тогда, если 
, то функция 
в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если 
, то функция 
в точке экстремума не имеет. В случае 
вопрос о наличии экстремума остается открытым.При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти частные производные первого порядка:
и 
.2. Решить систему уравнений
и найти критические точки функции.3. Найти частные производные второго порядка:
, 
, 
.4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример 6. Найти экстремумы функции
.Решение. 1. Находим частные производные
и 
:
, 
.2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
или 
Из первого уравнения системы находим:
. Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим 
, 
, 
,откуда
.Находим значения y, соответствующие значениям
. Подставляя значения 
в уравнение , получим: 
.Таким образом, имеем две критические точки:
и 
.3. Находим частные производные второго порядка:
; 
; 
.4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки
имеем:
, 
, 
.Так как
,то в точке
экстремума нет.В точке
: 
, 
, 
и, следовательно,
.Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке
функция имеет минимум, так как в этой точке 
и 
.5. Находим значение функции в точке
: 
.6. Условный экстремум
В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть
– функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию 
, называемому уравнением связи.Определение 8. Точка
называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки 
, что для всех точек 
из этой окрестности, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
, ( 
).Если уравнение связи
можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: 
), то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение 
в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: 
. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .Замечание. В более сложных случаях, когда уравнение связи
не разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного экстремума используется метод множителей Лагранжа.