Функции нескольких переменных (стр. 1 из 4)
Высшая математика
Функции нескольких переменных
Содержание
1. Понятие функции двух и более переменных
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
4. Частные производные высших порядков
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
6. Условный экстремум
Литература
1. Понятие функции двух и более переменных
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.
В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Пусть
– множество упорядоченных пар действительных чисел 
.Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел
по некоторому закону 
поставлено в соответствие единственное действительное число 
, то говорят, что задана функция двух переменных 
или 
. Числа 
называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число – зависимой переменной.Например, формула
, выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: 
– радиуса основания и 
– высоты.Пару чисел
иногда называют точкой 
, а функцию двух переменных – функцией точки 
.Значение функции
в точке 
обозначают 
или 
и называют частным значением функции двух переменных.Совокупность всех точек
, в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.Например, область определения функции
– вся плоскость, а функции 
– единичный круг с центром в начале координат ( 
или 
.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.
Пусть
– произвольная точка плоскости. 
– окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству 
. Другими словами, – окрестность точки 
– это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .Определение 2. Число
называется пределом функции при 
(или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа 
существует 
(зависящее от 
) такое, что для всех 
и удовлетворяющих неравенству 
выполняется неравенство 
.Обозначается предел следующим образом:
или 
.Пример 1. Найти предел
.Решение. Введем обозначение
, откуда 
. При 
имеем, что 
. Тогда 
.Определение 3. Функция
называется непрерывной в точке , если: 1) 
определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел 
; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. 
.Функция
называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция
имеет две линии разрыва: ось 
( 
) и ось 
( 
).Пример 2. Найти точки разрыва функции
.Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где
или 
. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 
. Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
Пусть задана функция двух переменных
. Дадим аргументу 
приращение 
, а аргумент 
оставим неизменным. Тогда функция получит приращение 
, которое называется частным приращением по переменной 
и обозначается 
: