Решение уравнений в целых числах (стр. 2 из 8)

Перейдем теперь к случаю

Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа

, для которых

Т е о р е м а I. Пусть а и b взаимно просты и

- какое-нибудь решение уравнения

(3)

Тогда формулы

(4)

при

дают все решения уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

- произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств

получаем

;

Так как

- целое число и числа

взаимно просты, то

должно нацело делиться на

, т. е.

имеет вид

где

- целое. Но тогда

и получаем

Таким образом доказано, что всякое решение

имеет вид (4). Остается еще проверить, что всякая пара чисел

, получаемая по формулам (4) при целом

, будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины

в левую часть уравнения (3):

но так как

-решение, то

и, следовательно,

, т.е.

- решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана.

Итак, если известно одно решение уравнения

, то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий, общие члены которых имеют вид:

3аметим, что в случае, когда

, найденные раньше формулы решений

могут быть получены из только что выведенных формул

, если выбрать

, что можно сделать, так как значения

являются, очевидно, решением уравнения

Как же найти какое-нибудь одно решение

уравнения (3) в общем случае, когда

. Начнем с примера.

Пусть дано уравнение

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби

;

Правильную дробь

заменим равной ей дробью

Тогда получим

. Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби

получим

Выделяя целую часть неправильной дроби

, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

Из сопоставления полученного равенства с уравнением

следует, что

будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения

надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь

. Обозначим через

частное и через

остаток от деления а на b. Тогда получим: