Решение уравнений в целых числах (стр. 5 из 8)

Подставляя в равенства (15) - (17)

, получим формулы:

, , , (18)

дающие при нечетных взаимно простых

и

все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел

,

,

, удовлетворяющие уравнению (12). Простой подстановкой

,

и в уравнение (12) легко проверить, что при любых и числа (18) удовлетворяют этому уравнению.

Для начальных значений

и формулы (18) приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

Как уже было сказано, формулы (18) дают только те решения уравнения

,

в которых числа

, и не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах (18), на произвольный общий множитель .

Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.

П р и м е р II. Найдем все решения уравнения

(19)

в целых положительных попарно взаимно простых числах

, , .

Заметим, что если

, , есть решение уравнения (19) и , , не имеют общего делителя, отличного от 1, то они и попарно взаимно просты. Действительно, если и кратны простому числу , то из равенства

следует, так как его левая часть - целое число, что

кратно . То же самое будет, если и или и делятся на .

Заметим, что

должно быть числом нечетным для того, чтобы общий наибольший делитель , , был равен 1. Действительно, если четно, то левая часть уравнения (19) будет четным числом и, значит, z также будет четным. Но и будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что должно делиться на 4, другими словами, что тоже должно быть четным числом. Значит, если четно, то все числа , , должны быть четными. Итак, в решении без общего отличного от 1 делителя должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и должно быть тоже нечетным. Перенося в правую часть, мы получаем:

.

Но

и имеют общим наибольшим делителем 2. Действительно, пусть их общий наибольший делитель будет . Тогда

, ,

где

и - целые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь:

, .

Но

и нечетны и взаимно просты. Поэтому общий наибольший делитель и будет 2. Отсюда следует, что .

Итак, или

, или нечетно. Поэтому или

числа

и

взаимно просты, или взаимно просты числа

и .

В первом случае из равенства

следует, что

, ,

а во втором случае из равенства

следует

, ,