Смекни!
smekni.com

Решение уравнений в целых числах (стр. 6 из 8)

где

и
целые,
- нечетное число и
,
. Решая эти две системы уравнений относительно
и
и находя
, мы получаем или

,
,
или

,
,
,

где

нечетно. Объединяя эти две формы представления решения
,
,
мы получаем общую формулу

,
,
,

где

нечетно. Но для того чтобы
и
были целыми числами, необходимо, чтобы
было четным. Полагая
и
, мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах
,
,
:

,

,
, (19')

где

и
положительны, взаимно просты и
нечетно.
При этих условиях величины

и
выбираются произвольно, но так, чтобы
было положительно. Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах
,
,
, так как, с одной стороны, мы доказали, что
,
,
в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны, если мы зададим числа
и
, удовлетворяющие нашим условиям, то
,
,
будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).

4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном

и иррациональном
уравнение

(20)

всегда имеет нетривиальное решение, другими словами существует пара целых чисел

и
;
, которая ему удовлетворяет. Прежде всего, укажем прием, позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число. Пусть
- любое положительное число. Тогда всегда существует целое число, которое будет меньше или равно
и больше
. Такое целое число носит название целой части
и обозначается
. Разность между
и его целой частью называется дробной частью числа
и обозначается
. Из определений целой части и дробной части числа
непосредственно следует соотношение между ними, именно:

или

. (21)

Так как дробная часть числа есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом, его не превосходящим, то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна. Например, целая часть

есть 5, а дробная его часть есть
, целая часть
есть 1, а дробная часть равна
; целая часть
равна 3, а дробная часть равна
, и т. д.

Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа

может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь. Положим:

,
.

Тогда

.

Так как

всегда меньше единицы, то
всегда больше единицы. Если бы
было само целым числом, то его дробная часть равнялась бы нулю,
было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство
. Отвлекаясь от этого частного случая, который исключается тем, что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число, мы можем утверждать, что
- положительное число, большее единицы. С этим числом
мы поступаем так же, как и с
, и пишем равенство

,
,