где
и целые, - нечетное число и , . Решая эти две системы уравнений относительно и и находя , мы получаем или , , или , , ,где
нечетно. Объединяя эти две формы представления решения , , мы получаем общую формулу , , ,где
нечетно. Но для того чтобы и были целыми числами, необходимо, чтобы было четным. Полагая и , мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах , , :,
, , (19')где и положительны, взаимно просты и нечетно. При этих условиях величины
и выбираются произвольно, но так, чтобы было положительно. Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах , , , так как, с одной стороны, мы доказали, что , , в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны, если мы зададим числа и , удовлетворяющие нашим условиям, то , , будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном
и иррациональном уравнение(20)
всегда имеет нетривиальное решение, другими словами существует пара целых чисел
и ; , которая ему удовлетворяет. Прежде всего, укажем прием, позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число. Пусть - любое положительное число. Тогда всегда существует целое число, которое будет меньше или равно и больше . Такое целое число носит название целой части и обозначается . Разность между и его целой частью называется дробной частью числа и обозначается . Из определений целой части и дробной части числа непосредственно следует соотношение между ними, именно:или
. (21)
Так как дробная часть числа есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом, его не превосходящим, то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна. Например, целая часть
есть 5, а дробная его часть есть , целая часть есть 1, а дробная часть равна ; целая часть равна 3, а дробная часть равна , и т. д.Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа
может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь. Положим: , .Тогда
.Так как
всегда меньше единицы, то всегда больше единицы. Если бы было само целым числом, то его дробная часть равнялась бы нулю, было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство . Отвлекаясь от этого частного случая, который исключается тем, что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число, мы можем утверждать, что - положительное число, большее единицы. С этим числом мы поступаем так же, как и с , и пишем равенство , ,