Решение уравнений в целых числах (стр. 7 из 8)

Продолжая этот процесс, мы получаем ряд равенств:

(24)

Этот процесс последовательного образования целых чисел

, , , , , в случае, когда , - рациональное число, - другими словами, когда , где и - целые положительные числа, - как нетрудно заметить, ничем не отличается по своим результатам от получения неполных частных с помощью алгоритма Евклида (см. формулу (6)). Он должен поэтому оборваться при рациональном. При иррациональном этот процесс должен быть бесконечным. Действительно, если бы при каком-нибудь было целым числом, то- отсюда следовало бы, что было бы рациональным, что в свою очередь влекло бы за собой рациональность и т. д. и, наконец, рациональность . Из формул (23), делая последовательные замены, исключая , , , мы получим цепную дробь

(24)

которую, так как можно взять сколь угодно большим, можно записывать и в форме бесконечной цепной дроби

Т е о р е м а III. При любом целом положительном

и иррациональном

уравнение (20)

имеет нетривиальное решение

,

, .

Рассмотрим уравнение общего вида,

(25)

где

- целое, - целое число, - иррациональное число. При это уравнение всегда имеет бесчисленное множество решений в целых числах и . При произвольных и такое уравнение может вообще не иметь решений.

П р и м е р. Покажем, что уравнение

(26)

вообще не разрешимо в целых числах

и

. Заметим, прежде всего, что квадрат нечетного числа при Делений на 8 всегда дает в остатке 1. Действительно, так как всякое нечетное число а может быть записано в форме

, где - целое число, то

, (27)

где

- целое число в силу того, что или , или должно быть четным числом. Далее, если - решение уравнения (27),. то и не могут быть числами одинаковой четности. Если бы и были одновременно четными или нечетными, то было бы четным числом и не могло быть равно 1. Если же нечетно, а четно, то при делении на давало бы в остатке 1, делилось бы на 4 и при делении на 4 давало бы в остатке 1. Это невозможно, так как при делении на 4 правая часть тривиально дает в остатке или . Наконец, если четно, а нечетно, то делится на 4, на основании (26) может быть записано в форме

и, значит, при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому

при делении на 4 должно опять давать в остатке 1, что, как мы уже видели, невозможно. Поэтому не существует целых чисел и , которые могли бы удовлетворять уравнению (26).

Не останавливаясь на вопросе, при каких условиях, наложенных на

и , уравнение (25) будет иметь решение, - вопросе трудном и разрешимом с помощью общей теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел, - мы остановимся на случае, когда уравнение (25) имеет нетривиальные решения. По-прежнему нетривиальным решением мы будем называть решение , если . Итак, пусть уравнение (25) имеет нетривиальное решение ; другими словами, пусть

(28)

Рассмотрим при том же

уравнение

(29)

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений в целых числах при

и иррациональном , и любое такое его решение будет:

, ,