Смекни!
smekni.com

Решение уравнений в целых числах (стр. 1 из 8)

СОДЕРЖАНИЕ:

  1. Уравнения с одним неизвестным
  1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными
  1. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными
  1. Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными

Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М

  1. Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.


1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

(1)

Пусть коэффициенты уравнения

и
- целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

будет целым числом только в том случае, когда

нацело делится на
. Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений
и
первое имеет целое решение
, а второе в целых числах неразрешимо.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение

имеет целые решения
,
; уравнение
в целых числах неразрешимо, так как его корни
,иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами

(2)

решается легко. Действительно, пусть

- целый корень этого уравнения. Тогда
,
.

Из последнего равенства видно, что

делится
без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей
, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения
,

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень

. Тем же методом легко показать, что уравнение

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

,
(3)

где

и
- целые числа, отличные от нуля, а
- произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты
и
не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов
отличен от единицы, то справедливы равенства
,
; уравнение (3) принимает вид

и может иметь целые решения только в том случае, когда

делится на
. Таким образом, в случае
- все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на
, и, сокращая (3) на
, придем к уравнению
,

коэффициенты которого

и
взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда

. Уравнение (3) перепишется так:
.
(3')

Решая это уравнение относительно

, получим
.

Ясно, что

будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда
делится на
без остатка. Но всякое целое
, кратное
, можно записать в виде
,

где

принимает произвольные целые значения
. Подставим это значение
в предыдущее уравнение, тогда
,

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):