Решение задач по высшей математике (стр. 1 из 2)

Задача 10 Даны матрицы

1	1	2	2	-1	1	1	0	0
А=	-2	0	2	В=	3	4	-2	Е=	0	1	0
0	-1	0	1	0	-1	0	0	1

Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е

Решение:

2 -1 1 1 1 2

BA= 3 4 -2 · -2 0 2

1 0 -1 0 -1 0

2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0

3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0

2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0

4 1 2

= -5 5 14

1 2 2

10 -5 5 2 0 0

5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,

5 0 -5 0 0 2

1 1 2

т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2

0 -1 0

	10-1+4-2	-5-1+1-0	5-2+2-0
С=	15+2-5-0	20-0+5-2	-10-2+14-0
5-0+1-0	0+1+2-0	-5-0+2-2

11	-5	5
12	23	2
6	3	-5

Задача 20

Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.

x + 2y + z = 5

x - y –2z = -1

2x + y + z = 4

Решение:

Метод Гаусса.

1	2	1	5	1	2	1	5	1	2	1	5
1	-1	-2	-1	~	0	-3	-3	-6	~	0	-3	-3	-6
2	1	1	4	0	-3	-1	-6	0	0	2	0

2z = 0, z = 0; -3y -3∙0 = -6, y = 2; x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x = 1.

Решение системы {1;2;0}

По формулам Крамера:

D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,

Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.

1	2	1
Δ=	1	-1	-2	= -1+1-8+2-2+2= -6
2	1	1

5	2	1
Δx=	-1	-1	-2	= -5-1-16+4+2+10 = -6
4	1	1

X=Δ_x/Δ= -6/(-6) = 1

1	5	1
Δy=	1	-1	-2	= -1+4-20+2+8-5 = -12
2	4	1

Y=Δ_y/Δ= -12/(-6) =2

Z=Δ_z/Δ= 0/(-6) = 0

1	2	5
Δя=	1	-1	-1	= -4+5-4+10+1-8 = 0
2	1	4

Решение системы {1;2;0}

Задача 30

На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)

Найти:

- длину стороны АВ

- уравнение стороны АВ

- уравнение медианы АD

- уравнение высоты СЕ

- уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

- внутренний угол при вершине А

- площадь треугольника АВС

- координаты точки Е

- сделать чертеж

Решение:

1. Длина стороны АВ:

½АВ½=

» 5,385

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

; ;

у =

- уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k_AB= 2/5

3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.

Координаты середины ВС:

х₄ = (х₂ + х₃)/2 = 3,5, у₄ = (у₂ + у₃)/2 = 3

D (-3,5;3)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:

; -5,5у = -16,5

у = 3- уравнение прямой АD

3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х₃ёу₃) и имеющей угловой коэффициент k_СЕ, имеет вид:

у – у₃ = k_СЕ (х – х₃); у – 5 = -2,5(х+4)

у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.

5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х₃ёу₃) и имеющей угловой коэффициент k_АВ, имеет вид:

у – у₃ = k_АВ (х – х₃); у – 5 =

х + ,

у =

х + , - уравнение прямой, параллельной АВ.

6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:

, где

- длины сторон АВ и АС соответственно.

,

ÐА = arc cos 0,7643 = 40^о9'

7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:

S = Ѕç(x₂ – x₁)(y₃ – y₁) – (x₃ – x₁)(y₂ – y₁)ç;

S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.

8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

у = -2,5х -5

у =

0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5

у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)

Задача 40

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.

у² + 2x - 2y -1 = 0

Решение:

Выделяем полные квадраты:

у²- 2у +1 + 2х- 2 = 0

(у - 1)² = -2(х - 1)

(х - 1) =-1/2(у - 1)² – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая

у = 1, ветви параболы направлены влево.

Задача 50

Вычислить пределы.

1)

2)

3)

4)

так как

-первый замечательный предел

5)

, (a>0)

Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =

где

-– второй замечательный предел.

Задача 60

Найти производные функций:

1) y =

y¢ =