Міністерство освіти і науки України
ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ
Реєстраційний №________
Дата ___________________
КУРСОВА РОБОТА
Тема:
Знаходження власних значень лінійного оператора
Рекомендована до захисту
“____” __________ 2008р.
Робота захищена
“____” __________ 2008р.
з оцінкою
_____________________
Підписи членів комісії
Зміст
Вступ
Теоретична частина
1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів
2. Матриця лінійного оператора
3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора
Практична частина
1. Опис програми
2. Текст програми
3. Контрольний приклад
Висновок
Список літератури
Вступ
Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.
Нехай в дійсному лінійному просторі

задан лінійний оператор

. Якщо вектор

, відмінний від нуля, переводиться оператором

у вектор, пропорційний самому

,

,
де

– деяке дійсне число, то вектор

називається власним вектором оператора

, а число

– власним значенням цього оператора, причому, власний вектор

відноситься до власного значення

.
Обертання евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним

, є прикладом лінійного оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до власного значення 5.
Теоретична частина
1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів
В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.
Нехай

– деякий векторний простір над полем

.
Означення 1. Вважають, що у векторному просторі

задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному вектору

простору

ставиться у відповідність деякий вектор

цього ж простору. Про цьому вектор

називають образом вектора

, а

називають прообразом вектора

.
Як бачимо, оператор у векторному просторі

– це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір

.
Означення 2. Оператор

у векторному просторі

називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:

Лінійні оператори в просторі

називають також лінійним перетворенням простору

.
З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:
1. Будь-який лінійний оператор

у просторі

залишає нерухомим нульовий вектор

цього простору, тобто

.
2. Всякий лінійний оператор

у просторі

протилежному вектору –

будь-якого вектора

, ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора

, тобто

.
3. Кожен лінійний оператор

у просторі

будь-який лінійний комбінації довільно вибраних векторів

простору

ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто

.
2. Матриця лінійного оператора
Нехай

– деякий лінійний оператор у просторі

. Виберемо в

який-небудь базис

. Оператор

відображає вектори цього базису в деякі вектори

. Кожен вектор

єдиним способом лінійно виражається через вектори базису

. Припустимо, що

Складемо з коефіціентів

матрицю

. Рядками матриці

є координатні рядки векторів

в базисі

. Оскльки координатні рядки векторів

визначені однозначно, то й матриця

визначається оператором

в базисі

.
Будемо вважати, що в базисі

лінійний оператор

задається матрицею

.
Отже, при зафіксованому базисі

кожному лінійному оператору

простору

відповідає певна квадратна матриця

-го порядку – матриця цього оператора.
3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора