Вычисление вероятности (стр. 1 из 4)

1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Вероятность события А найдем используя условную вероятность.

= 0,278

– вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

Ответ: 0,278.

2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение.

Пусть событие

состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.

,

где

– событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.

Т.к. события

- независимые совместные события.

Ответ: 0,994.

3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы Н₁, Н₂, Н₃.

– деталь изготовлена на первом станке;

– деталь изготовлена на втором станке;

– деталь изготовлена на третьем станке;

Гипотезы Н_i образуют полную группу событий.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

– полная вероятность.

= ; = ;

= ; = ;

=0,45; = ;

Тогда

. = 0,015.

Ответ: 0,0,015.

4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

Решение.

Найдем

– наиболее вероятное число выпадений 6.

Наивероятнейшее число

определяют из двойного неравенства:

;

– вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . – по условию.

;

Так как

– целое число, то наивероятнейшее число звонков равно .

Ответ: 2.

5. Задача 5. Дискретная случайная величина

может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение.

Таблица 1.

	1	4	5	7	8
	0,3	0,3	0,1	0,15	0,15

Найдем числовые характеристики данного распределения.

Математическое ожидание

= 4,25

Дисперсию определим по формуле:

.

= 24,55.

Тогда

Найдем функцию распределения случайной величины.

.

Построим график этой функции

6. Задача 6. Случайная величина

задана плотностью вероятности

Определить константу

, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0; ]

Решение.

Коэффициент

найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то .

Вычислим определенный интеграл:

.

Следовательно,

, .

Математическое ожидание

найдем по формуле: