Обобщ нно булевы решетки (стр. 2 из 7)
Доказательство. Рефлексивность отношения
вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4): 
Если
и 
, то есть 
и 
, то в силу свойства (2), получим 
. Это означает, что отношение 
антисимметрично.Если
и 
, то применяя свойство (3), получим: 
, что доказывает транзитивность отношения .Применяя свойства (3), (1), (2), получим:
, 
.Следовательно,
и 
.Если
и 
, то используя свойства (1) – (3), имеем: 
, т.е. 
.По определению точней верхней грани убедимся, что
.Из свойств (2), (4) вытекает, что
и 
.Если
и 
, то по свойствам (3), (4) получим: 
.Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что
.Таким образом,
.Пусть L решётка, тогда её наибольший элемент 1 характеризуется одним из свойств:
1.
.2.
.Аналогично характеризуется наименьший элемент
:1.
2.
.1.3. Дистрибутивные решётки
Решётка L называется дистрибутивной, если для любых
выполняется:D1.
.D2.
.В любой решётке тождества D1 и D2 равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [2], стр. 24.
Примеры дистрибутивных решёток:
1. Множество целых положительных чисел,
означает, что 
делит 
. Это решётка с операциями НОД и НОК.2. Любая цепь является дистрибутивной решёткой.
 |
ТЕОРЕМА 1.2. Решётка L с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
Доказательство этой теоремы можно найти в книге [1].
1.4. Обобщённо булевы решётки, булевы решётки
Всюду далее под словом «решётка» понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0.
Решётка L называется обобщённой булевой, если для любых элементов
и d из L, таких что 
существует относительное дополнение на интервале 
, т.е. такой элемент 
из L, что 
и 
.(Для
, 
, интервал 
| 
; для 
, можно так же определить полуоткрытый интервал 
| 
).ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.
Доказательство. Пусть для элемента
существует два относительных дополнения 
и 
на интервале 
. Покажем, что 
. Так как 
относительное дополнение элемента 
на промежутке , то 
и 
, так же 
относительное дополнение элемента 
на промежутке , то 
и 
.Отсюда
,таким образом
, т.е. любой элемент обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное дополнение.Решётка L называется булевой, если для любого элемента
из L существует дополнение, т.е. такой элемент 
из L, что 
и 
ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.