Обобщ нно булевы решетки (стр. 3 из 7)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.

ТЕОРЕМА 1.5. (О связи обобщённо булевых и булевых решёток).

Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.

Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольную булеву решётку L. Возьмём элементы a и d из L, такие что

. Заметим, что относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент , где a’ – дополнение элемента a в булевой решётке L. Действительно, , кроме того . Отсюда следует, что решётка L является обобщённо булевой.

1.5. Идеалы

Подрешётка I решётки L называется идеалом, если для любых элементов

и элемент лежит в I. Идеал I называется собственным, если . Собственный идеал решётки L называется простым, если из того, что и следует или .

Так как непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем определить идеал, порождённый множеством H в решётке L, предполагая, что H не совпадает с пустым множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через (H]. Если

, то вместо будем писать и называть главным идеалом.

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в L, тогда I является идеалом тогда и только тогда, когда если

, то , и если , то .

Доказательство. Пусть I – идеал, тогда

влечёт за собой , так как I – подрешётка. Если , то и условия теоремы проверены.

Обратно, пусть I удовлетворяет этим условиям и

. Тогда и так как , то , следовательно, I – подрешётка. Наконец, если и , то , значит, и I является идеалом.

Глава 2

2.1. Конгруэнции

Отношение эквивалентности (т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение)

на решётке L называется конгруэнцией на L, если и совместно влекут за собой и (свойство стабильности). Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:

(ω) ; (ι) для всех .

Для

обозначим через смежный класс, содержащий элемент , т.е. |

Пусть L – произвольная решётка и

. Наименьшую конгруэнцию, такую, что

для всех , обозначим через и назовём конгруэнцией, порождённой множеством

.

ЛЕММА 2.1. Конгруэнция

существует для любого

.

Доказательство. Действительно, пусть Ф =

| для всех . Так как пересечение в решётке совпадает с теоретико-множественным пересечением, то для всех . Следовательно, Ф= .

В двух случаях мы будем использовать специальные обозначения: если

или и - идеал, то вместо мы пишем или соответственно. Конгруэнция вида называется главной; её значение объясняется следующей леммой:

ЛЕММА 2.2.

= | .

Доказательство. Пусть

, тогда , отсюда . С другой стороны рассмотрим , но тогда . Поэтому и .

Заметим, что

- наименьшая конгруэнция, относительно которой , тогда как - наименьшая конгруэнция, такая, что содержится в одном смежном классе. Для произвольных решёток о конгруэнции почти ничего не известно. Для дистрибутивных решёток важным является следующее описание конгруэнции :