Особое решение дифференциальных уравнений первого порядка (стр. 2 из 2)

Любое уравнение вида

является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

-6-

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что

. Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента

, т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux,

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение

-7-

4.4 Уравнения, приводящиеся к однородным.

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Это уравнения вида

Если определитель

то переменные могут быть разделены подстановкой

где a и b - решения системы уравнений

Пример. Решить уравнение

-8-

4.5.Линейные уравнения.

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

4.6. Уравнение Бернулли

у+Р(х)у=Q(х)у , m = 0, m = 1.

Решение ищем в виде: у=u v, где u=u(х)

v=v(х)

Пример. Решить уравнение

-9-

4.7. Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(х,у), т.е dU=M(x,y)dx+N(x,y)dy, причем с другой стороны dU=

Теорема: пусть функции M(x,y), N(x,y) и их частные производные

непрерывны для того чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно выполнения условия:

Пример. Решить уравнение

-10-

5. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение

В каждой своей точке огибающая имеет общую касательную с некоторой интегральной кривой семейства Ф(х,у,С) и, следовательно, в каждой точке огибающей направление касательной совпадает с направлением поля в этой точке. Это и означает, что огибающая является интегральной кривой.

Теорема 1(необходимое условие огибающей). Пусть кривая есть огибающая регулярного семейства Ф(х,у,С). Тогда, если при t=t из [ , ] она касается кривой Ф(х,у,С )=0 (С [С ,С ]) семейства Ф(х,у,С), то число х ,у ,С ,где х =х(t ), у =у(t ), удовлетворяет системе уравнений:

Теорема 2(достаточный признак огибающей). Пусть семейство Ф(х,у,С) есть регулярное семейство и указана кривая у, заданная уравнениями и функция С=С(t) ( <t< ), причем величины x(t), y(t), C(t) при всех t из [ , ] тождественно

удовлетворяют системе:

Если при этом: 1. кривая у задана в гладкой параметризации;

2. функция С(t) имеет непрерывную производную, неравную тождественно нулю, ни на каком участке из [ , ];

то кривая у есть огибающая семейства Ф(х,у,С).

6. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по

дифференциальному уравнению

Предположим, что правая часть уравнения у = (х,у), определена и непрерывна в некоторой области D и имеет в каждой точке этой области производную по у. Тогда, через каждую точку этой области проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения и, следовательно, уравнение у = (х,у) не имеет особых решений. Поэтому, при сделанных предположениях, особое решения уравнения у = (х,у) нужно искать только среди тех кривых, вдоль которых не ограничена.

Будем называть кривые, вдоль которых не ограничена, кривыми, подозрительными на особое решение. Найдя кривую, подозрительными на особое решение, нужно, во-первых, проверить, что она вообще является интегральной кривой, и, во-вторых, убедиться, что в каждой точке ее нарушается единственность решения. Если и то идругое имеет место, то кривая, подозрительными на особое решение, действительно будет особым решением.

-11-

Заключение

-12-

Список литературы:

1. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 1967г.

2. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. 1988г.

3. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1996г.

-13-

Оглавление

Введение. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка ------------------- 3

1.1. Геометрический смысл ---------------------------------------------------------------------- 3

1.2. Механический смысл ------------------------------------------------------------------------ 3

2. Общее и частное решение дифференциального уравнения первого порядка -------- 4

3. Особое решение и его связь с общим решением ---------------------------------------------- 5

4. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производных ----------------------------------------------------------------------------------------------- 5

5. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение ------------------- 11

6. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по

дифференциальному уравнению -------------------------------------------------------------------- 11

Заключение. ------------------------------------------------------------------------------------------- 12

Список литературы. -------------------------------------------------------------------------------- 13

-1-

ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова».

Кафедра высшей математики.

Курсовая работа:

«Особое решение дифференциальных уравнений первого порядка».

Выполнил студент

группы ЭЭ-11-09

Зайцев Александр.

Принял преподаватель:

Быкова А.Н.

Чебоксары – 2010г.