Математика матрица

Матрицы

Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами.

Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Пример матрицы 4×3 :

a1,1	a1,2	a1,3
a2,1	a2,2	a2,3
a3,1	a3,2	a3,3
a4,1	a4,2	a4,3

Определитель матрицы

Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу.

Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы.

Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число:

det(A)=

=

где M_1,j - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a_1,j.

Выражение

det A =

называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) ^j+1 M_1,j называется алгебраическим дополнением элемента a_1,j.

Если вас пугает это формула, то она значит следующее:

1. Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n - порядок матрицы.
2. Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)^1+k.
3. Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор - определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца.

Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!!

Умножение матриц

Произведением матриц A размером m × n и матрицы B размера n × k называется матрица размера m × k, элементы которой определяются формулой

ci,j =	n	a i,q · b q,j
	∑
	q=1

i=1, ... , m

j=1, ..., k

Произведение матриц записывается как C=A·B.

Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!!

Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C.

Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B.

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...

В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как A^T.

Обратная матрица

Матрица A^-1 - называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A^-1 = A^-1·A=E.

Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0.

Обратную матрицу находим следующим образом:

где A_i,j - алгебраические дополнения элементов матрицы A.