Теоремы Генки механика деформируемого твердого тела (стр. 2 из 5)

или

.

Обозначая

через , получаем:

. (8)

Сюда следует присоединить два дифференциальных уравнения равновесия (объемные силы отсутствуют):

(9)

Если на границе тела заданы напряжения, то мы располагаем полной системой уравнений для определения напряженного состояния (притом независимо от деформации). Задачи этого типа называются статически определимыми.

К приведенным уравнениям следует присоединить соотношения, связывающие компоненты напряжения с приращениями компонент деформации; это будут соотношения (7), в которых нужно отбросить слагаемые, относящиеся к упругой деформации, т. е. соотношения теории пластичности Сен-Венана-Мизеса (12). В случае плоской деформации остаются лишь три соотношения (для

), из которых вытекает уравнение

, (10)

утверждающее, что направление площадки максимального касательного напряжения совпадает с направлением площадки, испытывающей максимальную скорость деформации сдвига. Кроме того, должно выполняться условие несжимаемости

(11)

Для пяти неизвестных

имеем пять уравнений (8) – (11).

1.5. Полуобратный метод. Если задача статически определима, то напряжения

находятся независимо от скоростей ; для нахождения скоростей имеем тогда линейную (при найденных напряжениях) систему уравнений (10), (11).

Если задача статически неопределима, то необходимо совместное решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано с известными трудностями. В таких задачах часто используют полуобратный метод: пытаются подобрать такое поле линий скольжения, для которого распределение скоростей было бы в согласии с граничными условиями. При этом приходится в той или иной мере задавать контуры пластической зоны и дополнять граничные условия для напряжения. Подобные приемы, несмотря на их очевидную ограниченность, позволили найти много важных решений. В связи с этим, в частности, имеет большое значение анализ системы уравнений (8), (9) для напряжений. Обратимся к подробному изучению свойств решений этой системы уравнений.

2. Линии скольжения, их свойства.

2.1. Характеристические линии. Рассмотрим уравнения в напряжениях (8), (9).

Возьмем известные формулы теории напряжений:

заменим в них полусумму главных напряжений через

, полуразность – через (согласно условию текучести) и перейдем к углу . Тогда будет

(12)

Очевидно, что при этом условие текучести (8) удовлетворяется.

Внося эти значения в уравнения равновесия, получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций

, :

(13)

Методы построения и свойства решения полученной системы дифференциальных уравнений прежде всего определяются ее типом. Покажем, что эта система гиперболического типа.

Для установления гиперболичности системы нужно показать, что существуют два различных вещественных семейства характеристических линий.

Пусть вдоль некоторой линии

в плоскости , (рис. 4) известны значения искомых функций .

Рис. 4.

Будем разыскивать решение

, , принимающее вдоль линии заданное значение . Задача построения такого решения называется задачей Коши. На геометрическом языке эта задача состоит в проведении интегральной поверхности через заданную кривую.

Если

– характеристическая линия, решение задачи Коши невозможно, ибо тогда невозможно вдоль однозначно определить из дифференциальных уравнений первые производные от решения (на геометрическом языке – тогда невозможно однозначно определить вдоль касательную плоскость к интегральной поверхности). На линии известны и . Значит, если они дифференцируемые, то известны и производные . При этом и отсчитываются в локальной системе координат, образованной касательной и нормалью к в некоторой точке (рис. 4). Заметим, что уравнения равновесия и условие пластичности не изменяются при переходе от системы координат к системе . Дифференциальные уравнения (13) также сохраняют прежний вид:

(14)

причем угол

, определяющий направление площадки скольжения в точке , здесь отсчитывается от оси . Если отлично от 0, , то, зная на производные , можно найти из (14) производные и решить задачу Коши.

Если же

совпадает с линией скольжения, то =0, , и упомянутые производные нельзя определить из дифференциальных уравнений (14). В этом случае линия будет характеристической линией.

Таким образом, характеристические линии совпадают с линиями скольжения; очевидно, что существуют два различных вещественных семейства характеристических линий, следовательно, исходная система – гиперболического типа.

Если координатные оси

совпадают с направлениями касательных к линиям скольжения, то дифференциальные уравнения (14) принимают простую форму

(15)

где

- производные вдоль линий .

Эти уравнения имеют простой механический смысл; они являются дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения (элемента скольжения; рис. 3), которая является как бы естественной координатной сеткой данной задачи.