Теоремы Генки механика деформируемого твердого тела (стр. 3 из 5)
Так как
– произвольная точка на линии скольжения, то вдоль линий скольжения семейств 
имеем соответственно 
(16)Эти соотношения для плоской задачи теории пластичности впервые были выведены Г. Генки (1923 г.). Для сыпучей среды несколько более общие соотношения были получены ранее (1903 г.) Кёттером.
При переходе от одной линии скольжения семейства
к другой параметр 
, вообще говоря, изменяется. Точно так же при переходе от одной линии семейства 
к другой изменяется параметр 
. Таким образом, 
зависит только от параметра , а – только от , т. е. 
Если известны поле линий скольжения и на них – значения параметров
, 
, то в каждой точке известны 
, т. е. известны компоненты напряжения 
. Заметим, что в рассматриваемой проблеме в отличие от линейной задачи (например, задачи для волнового уравнения) характеристические линии зависят от искомого решения – поля напряжений. В частности, произвольная кривая 
, если вдоль нее реализуется подходящее напряженное состояние (т.е. определен соответствующий угол 
), может быть характеристикой.2.2. Свойства линий скольжения. Линии скольжения обладают рядом замечательных свойств, изученных в основном Генки. Рассмотрим эти свойства.
1) Вдоль линии скольжения давление изменяется пропорционально углу линии скольжения с осью 
. Это свойство очевидно, так как вдоль
–линии 
, вдоль –линии 
.2) Если переходить от одной линии скольжения семейства
к другой вдоль любой линии скольжения семейства , то угол 
и давление 
будут изменяться на одну и ту же величину (первая теорема Генки).В самом деле, из соотношений
(17)вытекает, что
. (18)Возьмем две какие-либо линии скольжения
семейства 
и две линии скольжения 
семейства (рис. 5). Вдоль этих линий соответственно имеем: 
.Внося эти значения в формулы (18) для точек пересечения
, легко находим: 
,т. е.
. Точно так же получаем: 
.Очевидно, что мы придем к аналогичным выводам, если будем переходить от одной линии скольжения семейства
к другой вдоль любой линии .3) Если известно значение в какой-либо точке заданной сетки скольжения, то оно может быть вычислено всюду в поле.
Рис. 5. Рис. 6.
Пусть в точке
(рис. 6) известно 
; в этой точке мы знаем 
, следовательно, вычисляем сразу значение параметра 
для – линии скольжения, проходящей через .Далее, в точке
легко находим 
и 
; значение давления 
в точке 
получаем по формуле 
.4) Если некоторый отрезок линии скольжения – прямой, то вдоль него постоянны , , параметры , и компоненты напряжения 
. Действительно, пусть, скажем, отрезок
– линии – прямой; вдоль него 
и постоянен параметр . Но тогда согласно (17) и 
. Стало быть, и параметр 
вдоль рассматриваемого отрезка также постоянен.Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то в этой области напряжения распределены равномерно, причем параметры , постоянны.
5) Если некоторый отрезок линии скольжения семейства (или ) – прямой, то все соответствующие отрезки линий (или ), отсекаемые линиями семейства (или ) (рис. 7), - прямые.
Этот вывод следует из второго свойства, поскольку угол между соответствующими касательными к любым двум линиям скольжения остается постоянным при движении по избранным линиям . Рис. 7.
В такой области напряжения 
постоянны вдоль каждого прямого отрезка, но при переходе от одного отрезка
к другому. Будем называть подобное напряженное состояние простым.