Решение нелинейных уравнений методом простых итераций (стр. 2 из 2)
Теорема: Пусть функция j (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения j (х)
[a, b].Тогда, если существует правильная дробь q такая, что
q < 1при a < x < b, то: 1) процесс итерации
сходится независимо от начального значения х0 I [a, b];
2) предельное значение
является единственным корнем уравнения х = j (х) на отрезке [a, b].Пример 5. Уравнение
| f(x) = x3 - x - 1 = 0 | (10) |
имеет корень x
[1, 2], так как f(1) = - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0.Уравнение (10) можно записать в виде
| х = х3 - 1. | (11) |
Здесь
j (х) = х3 - 1 и j' (х) = 3х2;
поэтому
j' (х)
3 при 1 
х 2и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.
Если записать уравнение (10) в виде
 | (12) |
то будем иметь:
.Отсюда
при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10-2. Вычисляем последовательные приближения хn с одним запасным знаком по формуле
Найденные значения помещены в Таблицу 1:
Таблица 1
Значения последовательных приближений xi.
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| xi | 1 | 1,260 | 1,312 | 1,322 | 1,3243 |
С точностью до 10-2 можно положить x = 1,324.