Решение дифференциального уравнения первого порядка (стр. 1 из 2)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

на тему:

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Сумы, 2005 г.

1. Метод Адамса

Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855г. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связаны с именем А.Н. Крылова.

Изложим метод Адамса применительно к уравнению первого порядка

(1)

с начальным условием

(2).

Пусть x

(i=0,1,2,….) – система равностоящих значений с шагом h и

. Очевидно, имеем

(3).

В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка получаем

(4)

где

Подставляя выражение (4) в формулу (3) и учитывая, что dx=hdq, будем иметь

Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса

. (5)

Для начала процесса нужны четыре начальных значения

, так называемый начальный отрезок, который определяют исходя из начального условия (2), каким-нибудь численным методом. Можно, например, использовать метод Рунге-Кутта. Зная эти значения, из уравнения (1) можно найти значения производных

и составить таблицу разностей.

(6)

Дальнейшие значения

(i=4,5,…) искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере необходимости таблицу разностей (6).

Для контроля рекомендуется вычислив первое приближение для

по формуле

определить

, подсчитать конечные разности.

(7)

и затем найти второе приближение по более точной формуле

(8)

Если

отличаются лишь на несколько единиц последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить

, а затем, найдя

, перевычислив конечные разности (7). После этого, строго говоря, следует снова найти

по формуле(8). Поэтому шаг h должен быть таким , чтобы этот пересчёт был излишним.

На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы можно было пренебречь членом

в формуле (8).

Если же расхождение величин

значительно, то следует уменьшить шаг h.

Обычно шаг h уменьшают в два раза. Покажем, как в этом случае, имея до некоторого значения i таблицу величин

i) c шагом

, можно просто построить таблицу величин

(k=0,1,2…) с шагом

. Для кратности введения сокращенные обозначения:

(k=0,1,2…).

На основе формулы (4) будем иметь

, (9)

где

. Отсюда, полагая j=i-2 и q=1/2 и учитывая, что

, находим

. (10)

Аналогично при j=i-1, q=1/2 из формулы (9) получаем, что аргументу

соответствует значение

. (11)

Что касается значений

, то они имеются в старой таблице. После этого составляем начальный отрезок для новой таблицы.

и находим конечные разности:

(k=-3,-2,-1),

(k=-3,-2),

(k=-3,).

Дальше таблица продолжается обычным путём, посредством соответствующей модификации формулы (5):

(j=0,1,2,…).

Для работы на электронных счётчиках машинах формулу Адамса (5) выгодно применять в раскрытом виде. Учитывая, что

после приведения подобных членов имеем

причём

2. Методы, основанные на применении производных высших порядков

До сих пор для численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка

(1)

с начальным условием

(2)

мы применяли формулы, в которых явно используется лишь первая производная

искомого решения.

Однако если использовать формулы, явно содержащие производные высших порядков от искомого решения, то можно указать методы, дающие более точный результат на данном промежутке без увеличения числа шагов.

Выведем соответствующие формулы, предполагая, что правая часть уравнения (1) дифференцируема достаточное число раз.

Пусть

- значения искомого решения y=y(x) и, соответственно, значения его производных первого и второго порядков в точках

. Располагая величины

в ряды по степеням h, находим:

Из полученных формул исключим члены, содержащие