Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 10 из 13)

За умовою задачі

, . Приріст сторони куба обчислюємо наближено:

,

тобто ребро куба зменшиться на 0,0004166 м.

2.8 Похідні та диференціали вищих порядків

Похідні вищих порядків

Похідною другого порядку (другою похідною функції)

у точці х називається похідна від її першої похідної

при умові, що

диференційовна в точці х. Вона позначається такими символами:

,

,

,

,

.

Аналогічно визначається похідна п-го порядку функції

, яка має (п-1) похідну в точці х:

Похідну, для якої існує п-а похідна в точці х, називають п разів диференційовною в цій точці.

Основні формули обчислення похідних вищих порядків

зокрема,

Основні правила обчислення похідних

Якщо функції

та п разів диференційовні, тоді мають місце такі рівності:

1)

2)

(формула Лейбніца)

де

Обчислення похідних вищих порядків функцій, заданих параметрично

Якщо функція задана параметрично рівняннями

, , тоді похідні обчислюються за формулами:

і т.д.

Для похідної другого порядку має місце формула:

Диференціали вищих порядків

Диференціалом другого порядку двічі диференційовної функції

називають диференціал від диференціала першого порядку функції , тобто . У випадку, коли х – незалежна змінна, диференціали обчислюються за формулами:

Якщо ж х — деяка функція від t,

, тоді

і т.д.

Якщо для функцій

та , х — незалежна змінна, існують диференціали та , тоді

( — сталі),

Приклад 1. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично

Розв’язання.

Приклад 2. Знайти похідну другого порядку функції

Розв’язання. Спочатку знаходиться перша похідна від складної функції:

Тоді друга похідна дорівнює:

Приклад 3. Знайти диференціал другого порядку функції

в точці .

Розв’язання. Згідно з формулою для обчислення диференці-алу другого порядку

обчислюється :

Тоді

Отже,

Приклад 4. Знайти

у випадку, коли функція задана неявно рівнянням

Розв’язання. Диференціюємо ліву та праву частини рівняння, маючи на увазі, що у є функція від х:

Звідси

тобто , тому

Підставляючи замість

відповідне значення, знаходимо:

Приклад 5. Знайти

функції, яка задана параметрично рівняннями:

Розв’язання. За правилами диференціювання функції, заданої параметрично, маємо:

Приклад 6. Знайти

, якщо .

Розв’язання. З попереднього прикладу маємо

, . Тоді

Приклад 7. Знайти

, якщо .

Розв’язання.

3. Дослідження функції за допомогою похідних

3.1 Монотонність функції. Екстремум функції

Припустимо, що функція

визначена на деякому проміжку (а; b), а є внутрішньою точкою цього проміжку.