Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 11 из 13)

Функція

називається зростаючою в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що , для всіх і для всіх .

Якщо функція

диференційовна на інтервалі (а; b) і зростає (спадає) на цьому інтервалі, то її похідна на інтервалі (а; b) невід’ємна, тобто

.

Якщо функція

диференційована на інтервалі (а; b) і ії похідна

для

, то ця функція зростає (спадає) на інтервалі (а; b).

Функція

називається спадною в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що , для будь якого і для будь якого .

Якщо існує окіл

точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що для всіх , то точка називається точкою максимуму функції

, а саме число називається максимумом функції

в точці .

Якщо існує окіл

точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що для всіх , то точка називається точкою мінімуму функції

, а саме число називається мінімумом функції

в точці .

Точки максимуму й мінімуму функції називають ще екстремальними точками, а максимум і мінімум називають екстремумом функції.

Приклад 1. Довести, що функція

є зростаючою в інтервалі .

Розв’язання. Знаходимо похідну функції

:

У кожній точці

маємо

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що функція

є зростаючою в кожній точці даного інтервалу.

Приклад 2. Довести, що показникова функція

, , , в інтервалі при є спадною, а при — зростаючою.

Розв’язання. Знаходимо похідну функції

:

Внаслідок того, що

при , то

Отже, при

функція є спадною.

Якщо

, то і тому . Таким чином, у цьому випадку є зростаючою.

Приклад 3. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

.

Розв’язання. Знаходимо похідну:

При будь якому

маємо .

Отже, функція

на всій числовій осі є зростаючою.

Приклад 4. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

.

Розв’язання. Знаходимо похідну:

.

При

маємо , при маємо .

Отже, в інтервалі

функція спадає, а в інтервалі зростає.

При цьому точка

є точкою мінімуму заданої функції.

Приклад 5. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

.

Розв’язання. Знайдемо похідну:

Знайдемо точки, в яких

. Це є всі точки, де . Розв’яжемо цю нерівність:

або .

Отже, в інтервалі

функція зростає. Тоді в інтервалах , функція спадає.