Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 12 из 13)

Робимо висновок, що точка

є точкою є точкою мінімуму, а точка — точкою максимуму заданої функції, при цьому мінімум функції дорівнює , максимум .

Необхідна ознака існування екстремуму

Якщо функція

у внутрішній точці

проміжку

має екстремум, то в цій точці похідна

, якщо вона існує, дорівнює нулю.

Внутрішня точка

проміжку називається стаціонарною точкою функції , якщо в цій точці . Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, називаються критичними точками функції.

Перше правило дослідження функції на екстремум

Щоб дослідити функцію

на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки заданої функції, для цього слід розв’язати рівняння

, з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками існування функції;

2) знайти точки, в яких похідна

не існує (функція в ціх точках існує). Якщо критичних точок функція не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має екстремуму. Якщо критичні точки є, то їх треба досліджувати далі, для чого:

3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.

Якщо

при переході через критичну точку (зліва направо) змінює знак з + на –, то ця точка є точкою максимуму. Якщо

змінює знак з – на +, то ця критична точка є точкою мінімуму.

Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.

Теорема. Нехай точка

є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .

Друге правило дослідження функції на екстремум.

Щоб дослідити функцію

на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки заданої функції;

2) знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці. Якщо в стаціонарній точці

, то є екстремальною точкою для функції , а саме, точкою мінімуму, якщо , і точкою максимуму, якщо .

Приклад 6. Дослідити функцію на екстремум:

.

Розв’язання. Знаходимо похідну:

. Прирівнюємо похідну до нуля і розв’язуємо рівняння:

Дістаємо стаціонарні точки:

Знаходимо похідну другого порядку:

Підставляємо у вираз для

значення і :

Отже,

є точкою максимуму, — точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють .

Приклад 7. Дослідити функцію на екстремум:

Розв’язання. Знаходимо похідну першого порядку:

.

Прирівнюємо похідну

до нуля і розв’язуємо утворене рівняння:

.

Звідси знаходимо стаціонарні точки:

Знайдемо похідну другого порядку:

Тоді

Отже, в точці

функція має мінімум , а в точці — максимум .

3.2 Знаходження найбільшого і найменшого значень функції

Нехай на відрізку

задано неперервну функцію

, тоді за теоремою Вейєрштрасса функція на даному відрізку досягає свого найбільшого і свого найменшого значень. Це може статися як всередині відрізка, так і на його кінцях.

Якщо функція набуває найбільшого значення всередині відрізка, то це найбільше значення є одночасно і один з максимумів (локальний максимум) заданої функції.

Теж саме можна сказати про найменше значення функції. Але може бути й так, що одне із значень функція набуває всередині відрізка, а друге на одному з кінців.

Звідси випливає спосіб знаходження точок, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення на відрізку

:

1) знайти критичні точки функції;

2) обчислити значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізка;

3) найбільше (найменше) значення серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку

.

Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції

на відрізку .

Розв’язання. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього знайдемо похідну:

Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння

,

дістаємо стаціонарні точки:

. Точок, в яких функція не існує, немає.

Обчислюємо значення функції в точках

, а також на кінцях відрізка, тобто в точках :