Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 4 из 13)
Якщо
при 
, то справедливі такі еквівалентності:1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:
— перша важлива границя; 
; 
— друга важлива границя,де е — ірраціональне число, е = 2,718281...
Наслідки з важливих границь
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Розкриття невизначеностей
Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду
то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.
Невизначеність виду 
Щоб розкрити невизначеність виду
, треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.Приклад 1. Знайти границю:
а)
.б)
.в)
.г)
Невизначеність виду 
Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при
, для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на 
.Приклад 3. Обчислити:
а)
.б)
Приклад 4. Знайти границі:
Розв’язання. Безпосередня підстановка числа
під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на 
: 
Невизначеність виду 
Невизначеність виду перетвореннями приводиться до виду
та 
.Приклад 5.
а)
б)
Невизначеність виду 
Невизначеність виду
розкривається за допомогою другої стандартної границі.Приклад 6.
а)
б)
в)
Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:
а)
.б)
. 
. 
1.5 Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність
Функція
називається неперервною в точці 
, якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці 
: 
Функція
в точці 
буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:1. функція
визначена в околі точки ;2. існує границя
функції в точці ;3. границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
(1)Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція
була неперервною в точці .На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:
для того, щоб функція
була неперервною в точці , треба щоб:1.
була визначеною в околі точки ;2. існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число
;3. існувала правостороння границя функції – число
;4. лівостороння й правостороння границя були рівні
= 
;5. правостороння й лівостороння границя в точці
дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто = = 
Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною.