Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 5 из 13)

Якщо функція

визначена на відрізку , то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а — про неперервність справа, а в точці b — зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.

Функція

називається неперервною в точці

зліва, якщо виконуються умови:

1.

визначена в точці

(існує число );

2. в точці

існує лівостороння границя функції;

3. лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці

.

Отже, якщо

неперервна в точці

зліва, то виконується співвідношення

= ,

де

— лівостороння границя функції в точці .

Функція

називається неперервною в точці

справа, якщо виконуються умови:

1.

визначена в точці

(існує число );

2. в точці

існує правостороння границя функції;

3. правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці

.

Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення

= ,

де

— правостороння границя функції

в точці .

Точкою розриву функції

називають точку

в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .

1. Точка

є точкою усувного розриву, якщо існує , проте не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;

2. Точка

є точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі функції, але , різницю

називають стрибком функції

в точці

3. Точка

є точкою розриву другого роду функції , якщо в точці не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.

Приклад 1. Дослідити точки розриву функції

.

Розв’язання. В точці функція не визначена. Знайдемо при границі даної функції зліва та справа:

Оскільки односторонні границі скінченні, але

,

то

є точкою розриву першого роду.

Стрибок в даному випадку в точці

дорівнює 2.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

Розв’язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:

Рівність

означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.

Приклад 3. Визначити характер розриву функції

Розв’язання. Функція в точці не визначена.

При

маємо , при . Отже, , .

Тому точка

є точкою розриву другого роду.

2. Диференціальне числення функції однієї змінної

2.1 Похідна функції в точці

Похідною функції

в точці х називається границя (як що вона існує) відношення приросту функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто:

. (2.1)

Функція, яка має скінчену похідну в точці х, називається диференційовною в цій точці. Приріст диференційовної в точці х функції має вигляд

, (2.2)

де

– нескінченно мала функція при , тобто диференційовна функція неперервна.

Якщо

, тоді функція в точці х має нескінченну похідну.

Основні правила диференціювання

(1)

(2)

(3)

(4)