Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 8 из 13)
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37*. 
2.5 Логарифмічне диференціювання
Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.
Приклад 1. Знайти похідну функції
.Розв’язання. Прологарифмуємо функцію:
Знайдемо похідну від лівої та правої частин:
звідки
Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції
.Приклад 2. Продиференціювати функцію:
Розв’язання. Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.
Дійсно,
Диференціюючи (у розглядаємо як складену функцію), маємо:
Тоді
2.6 Геометричний та фізичний зміст похідної
Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв’язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.
Геометричний зміст похідної
Похідна функції 
для кожного значення х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто 
,де
– кут, який утворює дотична до графіка функції в точці 
з додатним напрямком осі 
.На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції
записується таким чином: 
Якщо неперервна функція в точці
має нескінченну похідну, тоді дотичною до графіка функції в точці 
буде пряма 
.Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику
, перпендикулярно до дотичної (пряма 
), рівняння має вигляд 
У випадку
нормаллю буде пряма 
; якщо функція в точці 
має нескінченну похідну, тоді нормаллю до кривої буде пряма 
.У деяких задачах потрібно знайти кут
між кривими 
та 
в їх точці перетинання.Кутом
між кривими вважається величина кута між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання; 
обчислюється за формулою: 
В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної, відрізок нормалі, піддотична, піднормаль, довжини яких визначають за формулами:
а) відрізок дотичної
: 
б) відрізок нормалі
: 
в) піддотична ТК:
г) піднормаль
: 
Приклад 1. Знайти, під яким кутом функція
перетинає вісь абсцис.Розв’язання. Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках
. Якщо 
, тоді 
,тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює –1. Це означає, що в точках
графік функції 
перетинає вісь абсцис під кутом 
.Якщо
, тоді 
. Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь 
під кутом 
.Приклад 2. Записати рівняння дотичної до кривої
в точці 
.Розв’язання. Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці
: 
Отже, отримаємо рівняння дотичної:
або 
Приклад 3. Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично:
в точці 
.Розв’язання. Рівняння нормалі має вигляд:
Значення
та 
відповідають значенню 
: 
Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:
.